Найдите угол между векторами а={1;3},b={2;1}

Чтобы найти угол между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), можно использовать формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

где:

• \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \),
• \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины (модули) векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \),
• \( \theta \) — угол между векторами.

1. Найдем векторы: \[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

2. Найдём скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \]

3. Найдем длины векторов:

   • Длина вектора \( \mathbf{a} \): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
   • Длина вектора \( \mathbf{b} \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

4. Теперь подставим значения в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

5. Найдем угол \( \theta \): \(\theta = \frac{\pi}{4} \approx 45^\circ\)

Таким образом, угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) составляет примерно 45 градусов.