Давайте решим каждую задачу по очереди, давая подробные объяснения.
Задача 1
Условие: В кубе сделали вырез в форме куба, ребро которого в 3 раза меньше ребра данного куба. Объём полученной фигуры равен 26. Найдите площадь поверхности этой фигуры.
Решение:
- Обозначим ребро большого куба как ( a ). Тогда объём большого куба:
[
V_{\text{большого}} = a^3
]
- Ребро вырезанного куба будет ( \frac{a}{3} ), поэтому его объём:
[
V_{\text{вырезанного}} = \left(\frac{a}{3}\right)^3 = \frac{a^3}{27}
]
- Объём полученной фигуры:
[
V_{\text{полученной}} = V_{\text{большого}} - V_{\text{вырезанного}} = a^3 - \frac{a^3}{27} = \frac{27a^3 - a^3}{27} = \frac{26a^3}{27}
]
- Согласно условию, ( V_{\text{полученной}} = 26 ):
[
\frac{26a^3}{27} = 26
]
- Умножаем обе стороны на 27:
[
26a^3 = 702
]
- Делим на 26:
[
a^3 = 27 \rightarrow a = 3
]
- Площадь поверхности большого куба:
[
S_{\text{большого}} = 6a^2 = 6 \cdot 3^2 = 54
]
- Площадь поверхности вырезанного куба:
[
S_{\text{вырезанного}} = 6\left(\frac{a}{3}\right)^2 = 6\left(\frac{3}{3}\right)^2 = 6 \cdot 1 = 6
]
- Когда куб вырезается, мы убираем площадь одной грани (вырезается внутренняя грань), но добавляем площадей на 6 граней вырезанного куба:
[
S_{\text{полученной}} = S_{\text{большого}} - S_{\text{вырезанной}} + 6 \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2 = 54 - 3 + 6 = 57
]
Ответ: Площадь поверхности фигуры равна 57.
Задача 2
Условие: Из четырех кубиков сложили фигуру, площадь поверхности полученной фигуры равна 72. Найдите объём этой фигуры.
Решение:
- Обозначим длину ребра одного кубика как ( a ). Площадь поверхности одного кубика:
[
S = 6a^2
]
Для 4 кубиков, если они расположены так, что не все грани их поверхности внешние, то:
[
S_{\text{фигуры}} = 4S - S_{\text{внутренние грани}}
]
- Но нам не хватает информации о внешних гранях. Давайте предположим, что кубики составляют какую-то простую форму, сохраняя площадь 72. Если это, например, прямоугольный параллелепипед со всеми кубами, можно взять за основание 2x2. Тогда:
[
S_{\text{фигуры}} = 6a^2 = 72 \rightarrow a^2 = 12 \rightarrow a = 2\sqrt{3}
]
- Теперь вычислим объём:
[
V = 4a^3 = 4(2\sqrt{3})^3 = 4 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} = 96\sqrt{3}
]
Ответ: Объём полученной фигуры равен ( 96\sqrt{3} ).
Задача 3
Условие: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8, диагональ большей боковой грани равна 10. Найдите объём параллелепипеда.
Решение:
- Обозначим высоту параллелепипеда как ( h ). Диагональ боковой грани можно вычислить по формуле:
[
d = \sqrt{a^2 + h^2}
]
где ( a ) — сторона основания. У нас ( a = 8 ) (большая сторона). Следовательно,
[
10 = \sqrt{8^2 + h^2} = \sqrt{64 + h^2}
]
- Квадратируем уравнение:
[
100 = 64 + h^2 \rightarrow h^2 = 36 \rightarrow h = 6
]
- Объём параллелепипеда:
[
V = a \cdot b \cdot h = 8 \cdot 6 \cdot 6 = 288
]
Ответ: Объём параллелепипеда равен 288.
Задача 4
Условие: Точка М - центр грани куба DCC1D1, B М = ( V6 ). Найдите объём куба.
Решение:
- Найдите расстояние между центром грани и вершиной. Центр грани делит диагональ:
[
B M = \frac{a\sqrt{2}}{2} = V6
]
- Десятичное значение ( \sqrt{6} ) приближенно:
[
\frac{a\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6} \rightarrow a\sqrt{2} = 2\sqrt{6} \rightarrow a = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
]
- Затем объём куба:
[
V = a^3 = (2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}
]
Ответ: Объём куба равен ( 24\sqrt{3} ).
Задача 5
Условие: Объём куба равен объёму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 6 и 12. Найдите площадь поверхности куба.
Решение:
- Сначала найдём объём параллелепипеда:
[
V = 3 \times 6 \times 12 = 216
]
- Объём куба равен ( a^3 = 216 ), тогда:
[
a = \sqrt[3]{216} = 6
]
- Площадь поверхности куба:
[
S = 6a^2 = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216
]
Ответ: Площадь поверхности куба равна 216.
Задача 6
Условие: В основании прямоугольного параллелепипеда с объёмом 200 лежит квадрат с периметром 20. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Решение:
- Периметр квадрата:
[
P = 4s = 20 \rightarrow s = 5
]
Здесь ( s ) — сторона основания.
- Площадь основания:
[
S_{основания} = s^2 = 5^2 = 25
]
- Объём параллелепипеда:
[
V = S_{основания} \cdot h = 200 \rightarrow 25h = 200 \rightarrow h = 8
]
- Площадь полной поверхности:
[
S_{\text{полная}} = 2(S_{основания} + S_{боковой}) = 2(25 + 2(5 \cdot h)) = 2(25 + 2 \cdot 5 \cdot 8) = 2(25 + 80) = 2 \cdot 105 = 210
]
Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 210.
