Пример 6. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = - 5t ^ 2 + 39t где h — высота в метрах, t - время в…

Для решения задачи, давайте аккуратно разберём данную формулу и определим, когда камень находится на высоте не менее 28 метров.

Шаг 1: Установление неравенства

Мы знаем, что высота h(t) описывается формулой: \[ h(t) = - 5t^2 + 39t \]

Наша цель — найти время t, когда h(t) ≥ 28. То есть, мы должны решить следующее неравенство: \[ -5t^2 + 39t \geq 28 \]

Шаг 2: Приведение неравенства к стандартному виду

Переписываем неравенство: \[ -5t^2 + 39t - 28 \geq 0 \]

Теперь, чтобы упростить вычисления, мы можем умножить все части неравенства на -1. Не забудьте поменять знак неравенства: \[ 5t^2 - 39t + 28 \leq 0 \]

Шаг 3: Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь найдем корни уравнения: \[ 5t^2 - 39t + 28 = 0 \]

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 5 \), \( b = -39 \), \( c = 28 \): \[ D = (-39)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 28 \] \[ D = 1521 - 560 \] \[ D = 961 \]

Теперь находим корни уравнения используя формулу для корней: \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ t_{1,2} = \frac{39 \pm \sqrt{961}}{10} \] \[ t_{1,2} = \frac{39 \pm 31}{10} \]

Теперь надо посчитать корни:

1. Для \( t_1 \): \[ t_1 = \frac{39 + 31}{10} = \frac{70}{10} = 7 \]
2. Для \( t_2 \): \[ t_2 = \frac{39 - 31}{10} = \frac{8}{10} = 0.8 \]

Шаг 4: Анализ неравенства

Теперь у нас есть корни \( t_1 = 7 \) и \( t_2 = 0.8 \). Чтобы узнать, на каком интервале неравенство выполняется, нам нужно протестировать значения на промежутках:

1. \( t < 0.8 \)
2. \( 0.8 < t < 7 \)
3. \( t > 7 \)

Возьмем тестовые значения:

• Для \( t = 0 \), \( 5(0)^2 - 39(0) + 28 = 28 \) (больше 0, не подходит).
• Для \( t = 1 \), \( 5(1)^2 - 39(1) + 28 = 5 - 39 + 28 = -6 \) (меньше 0, подходит).
• Для \( t = 8 \), \( 5(8)^2 - 39(8) + 28 = 320 - 312 + 28 = 36 \) (больше 0, не подходит).

Итак, мы выяснили, что: \[ 0.8 \leq t \leq 7 \]

Шаг 5: Подсчет

Таким образом, камень находится на высоте не менее 28 метров в течение времени от 0.8 до 7 секунд. Чтобы найти, сколько секунд это составляет: \[ 7 - 0.8 = 6.2 \]

Ответ

Камень находился на высоте не менее 28 метров 6.2 секунды.