Для решения задачи, давайте аккуратно разберём данную формулу и определим, когда камень находится на высоте не менее 28 метров.
Шаг 1: Установление неравенства
Мы знаем, что высота h(t) описывается формулой:
[ h(t) = - 5t^2 + 39t ]
Наша цель — найти время t, когда h(t) ≥ 28. То есть, мы должны решить следующее неравенство:
[ -5t^2 + 39t \geq 28 ]
Шаг 2: Приведение неравенства к стандартному виду
Переписываем неравенство:
[ -5t^2 + 39t - 28 \geq 0 ]
Теперь, чтобы упростить вычисления, мы можем умножить все части неравенства на -1. Не забудьте поменять знак неравенства:
[ 5t^2 - 39t + 28 \leq 0 ]
Шаг 3: Нахождение корней квадратного уравнения
Теперь найдем корни уравнения:
[ 5t^2 - 39t + 28 = 0 ]
Используем дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac ]
где ( a = 5 ), ( b = -39 ), ( c = 28 ):
[ D = (-39)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 28 ]
[ D = 1521 - 560 ]
[ D = 961 ]
Теперь находим корни уравнения используя формулу для корней:
[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
[ t_{1,2} = \frac{39 \pm \sqrt{961}}{10} ]
[ t_{1,2} = \frac{39 \pm 31}{10} ]
Теперь надо посчитать корни:
- Для ( t_1 ):
[ t_1 = \frac{39 + 31}{10} = \frac{70}{10} = 7 ]
- Для ( t_2 ):
[ t_2 = \frac{39 - 31}{10} = \frac{8}{10} = 0.8 ]
Шаг 4: Анализ неравенства
Теперь у нас есть корни ( t_1 = 7 ) и ( t_2 = 0.8 ). Чтобы узнать, на каком интервале неравенство выполняется, нам нужно протестировать значения на промежутках:
- ( t < 0.8 )
- ( 0.8 < t < 7 )
- ( t > 7 )
Возьмем тестовые значения:
- Для ( t = 0 ), ( 5(0)^2 - 39(0) + 28 = 28 ) (больше 0, не подходит).
- Для ( t = 1 ), ( 5(1)^2 - 39(1) + 28 = 5 - 39 + 28 = -6 ) (меньше 0, подходит).
- Для ( t = 8 ), ( 5(8)^2 - 39(8) + 28 = 320 - 312 + 28 = 36 ) (больше 0, не подходит).
Итак, мы выяснили, что:
[ 0.8 \leq t \leq 7 ]
Шаг 5: Подсчет
Таким образом, камень находится на высоте не менее 28 метров в течение времени от 0.8 до 7 секунд. Чтобы найти, сколько секунд это составляет:
[ 7 - 0.8 = 6.2 ]
Ответ
Камень находился на высоте не менее 28 метров 6.2 секунды.
