Найдите косинус угла между векторами р и если известна, что р 33: -56) и(-10; - 24). Ответ:
Для нахождения косинуса угла между двумя векторами мы можем использовать формулу:
\[ \cos \theta = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{{|\vec{a}| |\vec{b}|}} \]
где:
- \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов,
- \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — длины (модули) векторов.
Давайте обозначим ваши векторы как: \(\vec{a} = (33, -56)\) и \(\vec{b} = (-10, -24)\).
Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
Скалярное произведение вычисляется по формуле:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \]
Подставим значения:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 33 \cdot (-10) + (-56) \cdot (-24) \]
Теперь считаем:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -330 + 1344 = 1014 \]
Шаг 2: Найдем длины (модули) векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
Длина вектора \(\vec{a}\) находиться по формуле:
\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \]
Итак, находим модуль вектора \(\vec{a}\):
\[ |\vec{a}| = \sqrt{33^2 + (-56)^2} = \sqrt{1089 + 3136} = \sqrt{4225} = 65 \]
Теперь найдём модуль вектора \(\vec{b}\):
\[ |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-24)^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \]
Шаг 3: Подставим все значения в формулу для косинуса
Теперь подставляем найденные значения в формулу:
\[ \cos \theta = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{{|\vec{a}| |\vec{b}|}} = \frac{1014}{65 \cdot 26} \]
Вычислим:
\[ 65 \cdot 26 = 1690 \]
Таким образом,
\[ \cos \theta = \frac{1014}{1690} \]
Шаг 4: Упростим дробь
Чтобы упростить \(\frac{1014}{1690}\), можно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).
Для нахождения НОД применим алгоритм Евклида и выясним, что НОД(1014, 1690) = 2.
Следовательно:
\[ \frac{1014 \div 2}{1690 \div 2} = \frac{507}{845} \]
Ответ
Косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен:
\[ \cos \theta = \frac{507}{845} \approx 0.599 \]
Это значение косинуса угла между векторами.
