x²+y=25 x²-y=7
Давайте решим систему уравнений:
- \( x^2 + y = 25 \)
- \( x^2 - y = 7 \)
Шаг 1: Изоляция переменной y
Начнем с того, чтобы выразить \( y \) через \( x \) из одного из уравнений. Выразим \( y \) из первого уравнения:
\[ y = 25 - x^2 \]
Шаг 2: Подстановка значения y во второе уравнение
Теперь подставим \( y \) во второе уравнение:
\[ x^2 - (25 - x^2) = 7 \]
Шаг 3: Упрощение уравнения
Упростим уравнение:
\[ x^2 - 25 + x^2 = 7 \] \[ 2x^2 - 25 = 7 \]
Теперь добавим 25 к обеим сторонам:
\[ 2x^2 = 32 \]
Шаг 4: Найдем x
Теперь разделим обе стороны на 2:
\[ x^2 = 16 \]
Чтобы найти \( x \), возьмем квадратный корень:
\[ x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4 \]
Шаг 5: Находим соответствующие значения y
Теперь найдем \( y \) для каждого найденного значения \( x \).
- Если \( x = 4 \):
\[ y = 25 - (4^2) = 25 - 16 = 9 \]
- Если \( x = -4 \):
\[ y = 25 - ((-4)^2) = 25 - 16 = 9 \]
Шаг 6: Запишем ответ
Таким образом, у нас есть две пары решений:
\[ (4, 9) \quad \text{и} \quad (-4, 9) \]
Итак, окончательный ответ:
\[ \{(4, 9), (-4, 9)\} \]
Эти решения означают, что для каждого значения \( x \) в системе уравнений мы получаем соответствующее значение \( y \).
Обсуждение
2 сообщениямне нужно решение графиком функции
Чтобы решить систему уравнений графически, мы можем построить графики двух функций, которые задают вашу систему уравнений. Давайте преобразуем уравнения в уравнения функций.
Исходные уравнения:
- \( x^2 + y = 25 \) \(\Rightarrow y = 25 - x^2\) (парабола, направленная вниз)
- \( x^2 - y = 7 \) \(\Rightarrow y = x^2 - 7\) (парабола, направленная вверх)
Шаг 1: Построение графиков функций
График \( y = 25 - x^2 \)
Эта функция представляет собой параболу с вершиной в точке (0, 25) и направлена вниз. Она пересекается с осью y в (0, 25). У этого графика точки, где \( y = 0 \), могут быть найдены, решив уравнение \( 25 - x^2 = 0 \): \[ x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm5 \] Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (5, 0) и (-5, 0).
График \( y = x^2 - 7 \)
Это также парабола, но она направлена вверх и имеет вершину в точке (0, -7). Она пересекается с осью y в (0, -7) и с осью x в точках, которые можно найти, решив уравнение: \[ x^2 - 7 = 0 \Rightarrow x^2 = 7 \Rightarrow x = \pm\sqrt{7} \approx \pm2.65 \]
Шаг 2: Нахождение точек пересечения
Точки пересечения графиков этих двух функций будут решениями системы уравнений. Мы уже получили две пары решений:
- \( (4, 9) \)
- \( (-4, 9) \)
Шаг 3: Построение графиков
Для построения графиков вы можете использовать графический калькулятор или программное обеспечение (например, GeoGebra или Desmos). Вот что нужно сделать:
- Постройте график \( y = 25 - x^2 \) (парабола, направленная вниз).
- Постройте график \( y = x^2 - 7 \) (парабола, направленная вверх).
- Определите точки пересечения — они будут являться решениями вашей системы уравнений.
Примерный график
Чтобы представить, как выглядят графики:
- Парабола \( y = 25 - x^2 \) будет "смотреть" вниз, с вершиной в (0, 25).
- Парабола \( y = x^2 - 7 \) будет "смотреть" вверх, с вершиной в (0, -7).
Заключение
Точки пересечения графиков этих функций — это решение вашей системы уравнений. Таким образом, вы можете визуально увидеть, как параболы пересекаются в точках (4, 9) и (-4, 9).
