2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 8 см, если ее градусная мера равна 90°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

Давайте решим задачу пошагово. ### Шаг 1: Вычисление длины дуги окружности Длина дуги окружности рассчитывается по формуле: \[ L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \] где: - \( L \) — длина дуги, - \( r \) — радиус окружности, - \( \theta \) — угол в градусах. В данной задаче: - \( r = 8 \) см, - \( \theta = 90^\circ \). Подставим значения в формулу: \[ L = 2\pi \cdot 8 \cdot \frac{90}{360} \] Упростим выражение: - Сначала можем сократить \( \frac{90}{360} \) до \( \frac{1}{4} \): \[ L = 2\pi \cdot 8 \cdot \frac{1}{4} \] - Выразим \( 2 \cdot 8 \): \[ L = \frac{16\pi}{4} = 4\pi \] ### Ответ: Длина дуги равна \( 4\pi \) см (примерно \( 12.57 \) см). --- ### Шаг 2: Вычисление площади кругового сектора Площадь кругового сектора рассчитывается по формуле: \[ S = \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \] где: - \( S \) — площадь сектора, - \( r \) — радиус, - \( \theta \) — угол в градусах. Используем известные значения: \[ S = \pi \cdot 8^2 \cdot \frac{90}{360} \] Упростим: - Найдем \( 8^2 = 64 \): \[ S = \pi \cdot 64 \cdot \frac{90}{360} \] - Опять же, сократим \( \frac{90}{360} \) до \( \frac{1}{4} \): \[ S = \pi \cdot 64 \cdot \frac{1}{4} \] - Выразим \( 64 \cdot \frac{1}{4} \): \[ S = \pi \cdot 16 \] ### Ответ: Площадь кругового сектора равна \( 16\pi \) см² (примерно \( 50.27 \) см²). --- Таким образом, у нас есть: - Длина дуги: \( 4\pi \) см - Площадь круглого сектора: \( 16\pi \) см²