2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 8 см, если ее градусная мера равна 90°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?
Давайте решим задачу пошагово.
Шаг 1: Вычисление длины дуги окружности
Длина дуги окружности рассчитывается по формуле:
\[ L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \]
где:
- \( L \) — длина дуги,
- \( r \) — радиус окружности,
- \( \theta \) — угол в градусах.
В данной задаче:
- \( r = 8 \) см,
- \( \theta = 90^\circ \).
Подставим значения в формулу:
\[ L = 2\pi \cdot 8 \cdot \frac{90}{360} \]
Упростим выражение:
- Сначала можем сократить \( \frac{90}{360} \) до \( \frac{1}{4} \):
\[ L = 2\pi \cdot 8 \cdot \frac{1}{4} \]
- Выразим \( 2 \cdot 8 \):
\[ L = \frac{16\pi}{4} = 4\pi \]
Ответ:
Длина дуги равна \( 4\pi \) см (примерно \( 12.57 \) см).
Шаг 2: Вычисление площади кругового сектора
Площадь кругового сектора рассчитывается по формуле:
\[ S = \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{360^\circ} \]
где:
- \( S \) — площадь сектора,
- \( r \) — радиус,
- \( \theta \) — угол в градусах.
Используем известные значения:
\[ S = \pi \cdot 8^2 \cdot \frac{90}{360} \]
Упростим:
- Найдем \( 8^2 = 64 \):
\[ S = \pi \cdot 64 \cdot \frac{90}{360} \]
- Опять же, сократим \( \frac{90}{360} \) до \( \frac{1}{4} \):
\[ S = \pi \cdot 64 \cdot \frac{1}{4} \]
- Выразим \( 64 \cdot \frac{1}{4} \):
\[ S = \pi \cdot 16 \]
Ответ:
Площадь кругового сектора равна \( 16\pi \) см² (примерно \( 50.27 \) см²).
Таким образом, у нас есть:
- Длина дуги: \( 4\pi \) см
- Площадь круглого сектора: \( 16\pi \) см²
