Контрольная работа по геометрии,реши с рисунками

Давайте разберем каждую из задач по порядку. ### Задача 1 Дана задача: > Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых на 40° больше другого. Найдите острые углы данного треугольника. **Решение:** 1. Пусть один из острых углов, на которые делится прямой угол, равен \( x \). Тогда второй угол будет равен \( x + 40^\circ \). 2. Поскольку сумма этих углов должна составлять \( 90^\circ \) (из-за свойства углов прямоугольного треугольника), у нас получается уравнение: \[ x + (x + 40^\circ) = 90^\circ \] 3. Решая уравнение: \[ 2x + 40^\circ = 90^\circ \] 4. Вычтем 40° из обеих частей уравнения: \[ 2x = 50^\circ \] 5. Разделив обе части на 2, находим \( x \): \[ x = 25^\circ \] 6. Следовательно, второй угол равен: \[ x + 40^\circ = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ \] **Ответ:** Острые углы треугольника равны \( 25^\circ \) и \( 65^\circ \). ### Задача 2 Дана задача: > Углы \( \triangle ABC \) равны 150°. Из точки \( A \) к прямой \( BC \) проведен перпендикуляр \( AM \), равный 12 см. Найдите длину отрезка \( AB \). **Решение:** 1. Так как угол \( \angle BAC \) равен 150°, это внешний угол для треугольника \( \triangle ABM \). 2. Внешний угол равен сумме противоположных внутренних углов. Поэтому внутренние углы треугольника \( \triangle ABM \) будут равны 15° и 15° (поскольку остальные два угла равны, 30/2). 3. Находим длину гипотенузы \( AB \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \) через синус: \[ \sin(15^\circ) = \frac{AM}{AB} = \frac{12}{AB} \] 4. Найдем \( AB \): \[ AB = \frac{12}{\sin(15^\circ)} \] 5. \( \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). 6. Подставим значение и получим: \[ AB = \frac{12 \cdot 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \] 7. Умножив числитель и знаменатель на сопряженное: \[ AB = 48 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 12(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \] **Ответ:** Длина отрезка \( AB \) равна \( 12(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \). ### Задача 3 > В прямоугольном треугольнике биссектриса наименьшего угла пересекает катет под углом 110°. Найдите острые углы данного треугольника. **Решение:** 1. Биссектриса разделяет угол на два равных, и один из этих углов равен \( 110^\circ - 90^\circ = 20^\circ \). 2. Следовательно, наименьший угол треугольника равен \( 2 \times 20^\circ = 40^\circ \). 3. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \), то второй острый угол: \[ 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \] **Ответ:** Острые углы треугольника равны \( 40^\circ \) и \( 50^\circ \). Каждую задачу можно проиллюстрировать графически, чтобы лучше понимать значения углов и особенности прямоугольных треугольников.