Батарея из трех конденсаторов емкостями C1=10мкФ,С2=15мкФ и С3=20мкФ, соединенных последовательно, подключена к источнику тока напряжением U=50 В. Как изменится энергия дельта W…

Давайте разберёмся с задачей по шагам. Нам нужно рассчитать, как изменится энергия конденсаторной батареи при замене диэлектрика в одном из конденсаторов.

Шаг 1: Определение начальной энергии батареи

Когда конденсаторы соединены последовательно, их общая ёмкость \(C_{\text{eq}}\) рассчитывается по формуле:

\[ \frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} \]

Подставим наши значения \(C_1 = 10 \, \mu F\), \(C_2 = 15 \, \mu F\), \(C_3 = 20 \, \mu F\):

\[ \frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{10 \times 10^{-6}} + \frac{1}{15 \times 10^{-6}} + \frac{1}{20 \times 10^{-6}} \]

Находим общее значение:

1. \( \frac{1}{C_1} = 0.1 \times 10^6 \, F^{-1} \)
2. \( \frac{1}{C_2} = \frac{1}{15 \times 10^{-6}} \approx 0.0667 \times 10^6 \, F^{-1} \)
3. \( \frac{1}{C_3} = 0.05 \times 10^6 \, F^{-1} \)

Теперь найдём сумму:

\[ \frac{1}{C_{\text{eq}}} = 0.1 + 0.0667 + 0.05 = 0.2167 \times 10^6 \, F^{-1} \]

Теперь находим \(C_{\text{eq}}\):

\[ C_{\text{eq}} = \frac{1}{0.2167 \times 10^6} \approx 4.61 \, \mu F \]

Теперь, зная напряжение \(U = 50 \, V\), можем вычислить начальную энергию:

Энергия батареи выражается как:

\[ W = \frac{1}{2} C_{\text{eq}} U^2 \]

Подставим значения:

\[ W = \frac{1}{2} \times 4.61 \times 10^{-6} \times 50^2 = \frac{1}{2} \times 4.61 \times 10^{-6} \times 2500 \]

\[ W \approx 5.76 \times 10^{-3} \, J = 5.76 \, mJ \]

Шаг 2: Изменение энергии при заполнении керосином

Когда мы заполняем средний конденсатор \(C_2\) керосином, его ёмкость изменится. Для замены диэлектрика — нужно знать относительную диэлектрическую проницаемость. Допустим, диэлектрическая проницаемость керосина \( \epsilon_r \approx 2.0 \).

Новая ёмкость \(C_2'\) будет в два раза больше:

\[ C_2' = \epsilon_r C_2 = 2.0 \times 15 \, \mu F = 30 \, \mu F \]

Теперь пересчитаем эквивалентную ёмкость новой батареи с изменённой ёмкостью конденсатора \(C_2'\):

\[ \frac{1}{C'_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2'} + \frac{1}{C_3} \]

\[ \frac{1}{C'_{\text{eq}}} = \frac{1}{10 \times 10^{-6}} + \frac{1}{30 \times 10^{-6}} + \frac{1}{20 \times 10^{-6}} \]

Находим значение:

1. \( \frac{1}{C_1} = 0.1 \times 10^6 \, F^{-1} \)
2. \( \frac{1}{C_2'} = \frac{1}{30 \times 10^{-6}} \approx 0.0333 \times 10^6 \, F^{-1} \)
3. \( \frac{1}{C_3} = 0.05 \times 10^6 \, F^{-1} \)

Теперь суммируем:

\[ \frac{1}{C'_{\text{eq}}} = 0.1 + 0.0333 + 0.05 = 0.1833 \times 10^6 \, F^{-1} \]

Теперь находим новую эквивалентную ёмкость:

\[ C'_{\text{eq}} = \frac{1}{0.1833 \times 10^6} \approx 5.46 \, \mu F \]

Теперь рассчитаем новую энергию \(W'\):

\[ W' = \frac{1}{2} C'_{\text{eq}} U^2 \]

\[ W' = \frac{1}{2} \times 5.46 \times 10^{-6} \times 50^2 = \frac{1}{2} \times 5.46 \times 10^{-6} \times 2500 \]

\[ W' \approx 6.83 \times 10^{-3} \, J = 6.83 \, mJ \]

Шаг 3: Изменение энергии батареи

Теперь найдём, как изменилась энергия:

\[ \Delta W = W' - W \]

\[ \Delta W \approx 6.83 \, mJ - 5.76 \, mJ \approx 1.07 \, mJ \]

Ответ

Энергия батареи увеличится на примерно \(1.07 \, mJ\) при заполнении среднего конденсатора керосином.