Батарея из трех конденсаторов емкостями C1=10мкФ,С2=15мкФ и С3=20мкФ, соединенных последовательно, подключена к источнику тока напряжением U=50 В. Как изменится энергия дельта W батареи, если, не отключая ее от источника, заполнить керосином средний конденсатор?

Давайте разберёмся с задачей по шагам. Нам нужно рассчитать, как изменится энергия конденсаторной батареи при замене диэлектрика в одном из конденсаторов. ### Шаг 1: Определение начальной энергии батареи Когда конденсаторы соединены последовательно, их общая ёмкость \(C_{\text{eq}}\) рассчитывается по формуле: \[ \frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} \] Подставим наши значения \(C_1 = 10 \, \mu F\), \(C_2 = 15 \, \mu F\), \(C_3 = 20 \, \mu F\): \[ \frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{10 \times 10^{-6}} + \frac{1}{15 \times 10^{-6}} + \frac{1}{20 \times 10^{-6}} \] Находим общее значение: 1. \( \frac{1}{C_1} = 0.1 \times 10^6 \, F^{-1} \) 2. \( \frac{1}{C_2} = \frac{1}{15 \times 10^{-6}} \approx 0.0667 \times 10^6 \, F^{-1} \) 3. \( \frac{1}{C_3} = 0.05 \times 10^6 \, F^{-1} \) Теперь найдём сумму: \[ \frac{1}{C_{\text{eq}}} = 0.1 + 0.0667 + 0.05 = 0.2167 \times 10^6 \, F^{-1} \] Теперь находим \(C_{\text{eq}}\): \[ C_{\text{eq}} = \frac{1}{0.2167 \times 10^6} \approx 4.61 \, \mu F \] Теперь, зная напряжение \(U = 50 \, V\), можем вычислить начальную энергию: Энергия батареи выражается как: \[ W = \frac{1}{2} C_{\text{eq}} U^2 \] Подставим значения: \[ W = \frac{1}{2} \times 4.61 \times 10^{-6} \times 50^2 = \frac{1}{2} \times 4.61 \times 10^{-6} \times 2500 \] \[ W \approx 5.76 \times 10^{-3} \, J = 5.76 \, mJ \] ### Шаг 2: Изменение энергии при заполнении керосином Когда мы заполняем средний конденсатор \(C_2\) керосином, его ёмкость изменится. Для замены диэлектрика — нужно знать относительную диэлектрическую проницаемость. Допустим, диэлектрическая проницаемость керосина \( \epsilon_r \approx 2.0 \). Новая ёмкость \(C_2'\) будет в два раза больше: \[ C_2' = \epsilon_r C_2 = 2.0 \times 15 \, \mu F = 30 \, \mu F \] Теперь пересчитаем эквивалентную ёмкость новой батареи с изменённой ёмкостью конденсатора \(C_2'\): \[ \frac{1}{C'_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2'} + \frac{1}{C_3} \] \[ \frac{1}{C'_{\text{eq}}} = \frac{1}{10 \times 10^{-6}} + \frac{1}{30 \times 10^{-6}} + \frac{1}{20 \times 10^{-6}} \] Находим значение: 1. \( \frac{1}{C_1} = 0.1 \times 10^6 \, F^{-1} \) 2. \( \frac{1}{C_2'} = \frac{1}{30 \times 10^{-6}} \approx 0.0333 \times 10^6 \, F^{-1} \) 3. \( \frac{1}{C_3} = 0.05 \times 10^6 \, F^{-1} \) Теперь суммируем: \[ \frac{1}{C'_{\text{eq}}} = 0.1 + 0.0333 + 0.05 = 0.1833 \times 10^6 \, F^{-1} \] Теперь находим новую эквивалентную ёмкость: \[ C'_{\text{eq}} = \frac{1}{0.1833 \times 10^6} \approx 5.46 \, \mu F \] Теперь рассчитаем новую энергию \(W'\): \[ W' = \frac{1}{2} C'_{\text{eq}} U^2 \] \[ W' = \frac{1}{2} \times 5.46 \times 10^{-6} \times 50^2 = \frac{1}{2} \times 5.46 \times 10^{-6} \times 2500 \] \[ W' \approx 6.83 \times 10^{-3} \, J = 6.83 \, mJ \] ### Шаг 3: Изменение энергии батареи Теперь найдём, как изменилась энергия: \[ \Delta W = W' - W \] \[ \Delta W \approx 6.83 \, mJ - 5.76 \, mJ \approx 1.07 \, mJ \] ### Ответ Энергия батареи увеличится на примерно \(1.07 \, mJ\) при заполнении среднего конденсатора керосином.