Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=8 МПа; σy=−3 МПа; σz=7 МПа; τzy=−3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных…

Чтобы решить задачу по механике сплошных сред и определить первое главное напряжение, необходимо использовать методы, связанные с тензором напряжений.

Дано:

• \( E = 200 \) ГПа
• \( \mu = 0,3 \)
• \( \sigma_x = 8 \) МПа
• \( \sigma_y = -3 \) МПа
• \( \sigma_z = 7 \) МПа
• \( \tau_{zy} = -3 \) МПа

Шаг 1: Составление матрицы напряжений

Матрица напряжений в данном случае:

\[ \begin{bmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -3 & 7 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: Найти главные напряжения (собственные значения)

Главные напряжения \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) — это собственные значения матрицы напряжений. Их находим, решая характеристическое уравнение для матрицы:

\[ \det(\mathbf{\sigma} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \]

где \( \mathbf{I} \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственные значения.

Характеристическое уравнение будет:

\[ \left| \begin{array}{ccc} 8 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & -3 - \lambda & -3 \\ 0 & -3 & 7 - \lambda \end{array} \right| = 0 \]

Шаг 3: Решение характеристического уравнения

Решим характеристическое уравнение. Детерминант будет:

\[ (8 - \lambda)((-3 - \lambda)(7 - \lambda) - (-3)^2) = 0 \]

Упростим выражение:

\[ (8 - \lambda)((-3 - \lambda)(7 - \lambda) - 9) = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ (-3 - \lambda)(7 - \lambda) - 9 = \lambda^2 - 4\lambda - 30 = 0 \]

Корни уравнения:

\[ \lambda_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2 \cdot 1} \]

\[ \lambda_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 120}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{136}}{2} \]

\[ \lambda_{1,2} = \frac{4 \pm 11.662}{2} \]

\[ \lambda_1 = 7.831, \quad \lambda_2 = -3.831 \]

Теперь для третьего корня:

\[ 8 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda_3 = 8 \]

Итог

Первое главное напряжение — это наибольшее из найденных собственных значений:

\[ \sigma_1 = 8 \, \text{МПа} \]

Таким образом, первое главное напряжение равно \( \sigma_1 = 8.000 \) МПа.