Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=8 МПа; σy=−3 МПа; σz=7 МПа; τzy=−3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных…
Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=8 МПа; σy=−3 МПа; σz=7 МПа; τzy=−3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных площадок и главные деформации. 2. Второе главное напряжение равно (ответ приведите в [МПа], оставляя при этом не менее 3х значащих цифр)...
Для решения задачи по нахождению главных напряжений, угла поворота главных площадок и главных деформаций используют теорию напряженнодеформированного состояния в трехмерной постановке.
Исходные данные:
- Модуль упругости \( E = 200 \) ГПа
- Коэффициент Пуассона \( \mu = 0,3 \)
- Нормальные напряжения:
- \( \sigma_x = 8 \) МПа
- \( \sigma_y = -3 \) МПа
- \( \sigma_z = 7 \) МПа
- Касательные напряжения:
- \( \tau_{zy} = -3 \) МПа
Найдем главные напряжения
Главные напряжения \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) находятся как корни характеристического уравнения:
\[ \begin{vmatrix} \sigma_x - \sigma & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y - \sigma & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z - \sigma \end{vmatrix} = 0 \]
Для нашего случая, где касательные напряжения, кроме \(\tau_{zy}\), равны нулю, уравнение принимает вид:
\[ \begin{vmatrix} 8 - \sigma & 0 & 0 \\ 0 & -3 - \sigma & -3 \\ 0 & -3 & 7 - \sigma \end{vmatrix} = 0 \]
Решив это уравнение, получаем:
- \(\sigma_1 = \) Наибольшее значение
- \(\sigma_2 = \) Второе по величине значение
- \(\sigma_3 = \) Наименьшее значение
Определим корни характеристического уравнения:
Решим его детерминант:
\[ (8 - \sigma)((-3 - \sigma)(7 - \sigma) - (-3)^2) = 0 \]
Упростим:
\[ (8 - \sigma)(\sigma^2 - 4\sigma - 30) = 0 \]
Корни \(\sigma^2 - 4\sigma - 30 = 0\) можно решить по формуле:
\[ \sigma = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ \sigma = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 120}}{2} \]
\[ \sigma = \frac{4 \pm \sqrt{136}}{2} \]
\[ \sigma_2 = \frac{4 - \sqrt{136}}{2} = \frac{4 - 11.662}{2} \approx -3.831 \text{ МПа} \]
Ответ:
Второе главное напряжение \(\sigma_2 \approx -3.831\) МПа.
Угол поворота главных площадок
Для нахождения угла поворота и деформаций потребуется далее использовать основную теорию, которая выходит за рамки краткого ответа.обычно такие параметры вычисляются по формулам Моора и Гука.
