Для решения задачи по нахождению главных напряжений, угла поворота главных площадок и главных деформаций используют теорию напряженнодеформированного состояния в трехмерной постановке.
Исходные данные:
- Модуль упругости ( E = 200 ) ГПа
- Коэффициент Пуассона ( \mu = 0,3 )
- Нормальные напряжения:
- ( \sigma_x = 8 ) МПа
- ( \sigma_y = -3 ) МПа
- ( \sigma_z = 7 ) МПа
- Касательные напряжения:
Найдем главные напряжения
Главные напряжения (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) находятся как корни характеристического уравнения:
[
\begin{vmatrix}
\sigma_x - \sigma & \tau_{xy} & \tau_{xz} \
\tau_{yx} & \sigma_y - \sigma & \tau_{yz} \
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z - \sigma
\end{vmatrix} = 0
]
Для нашего случая, где касательные напряжения, кроме (\tau_{zy}), равны нулю, уравнение принимает вид:
[
\begin{vmatrix}
8 - \sigma & 0 & 0 \
0 & -3 - \sigma & -3 \
0 & -3 & 7 - \sigma
\end{vmatrix} = 0
]
Решив это уравнение, получаем:
- (\sigma_1 = ) Наибольшее значение
- (\sigma_2 = ) Второе по величине значение
- (\sigma_3 = ) Наименьшее значение
Определим корни характеристического уравнения:
Решим его детерминант:
[
(8 - \sigma)((-3 - \sigma)(7 - \sigma) - (-3)^2) = 0
]
Упростим:
[
(8 - \sigma)(\sigma^2 - 4\sigma - 30) = 0
]
Корни (\sigma^2 - 4\sigma - 30 = 0) можно решить по формуле:
[
\sigma = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
[
\sigma = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 120}}{2}
]
[
\sigma = \frac{4 \pm \sqrt{136}}{2}
]
[
\sigma_2 = \frac{4 - \sqrt{136}}{2} = \frac{4 - 11.662}{2} \approx -3.831 \text{ МПа}
]
Ответ:
Второе главное напряжение (\sigma_2 \approx -3.831) МПа.
Угол поворота главных площадок
Для нахождения угла поворота и деформаций потребуется далее использовать основную теорию, которая выходит за рамки краткого ответа.обычно такие параметры вычисляются по формулам Моора и Гука.
