Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=8 МПа; σy=−3 МПа; σz=7 МПа; τzy=−3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных…

Для решения этой задачи воспользуемся формулами из теории напряжений в твердых телах. Нам нужно найти главные деформации из заданного напряженного состояния.

Данные:

• Модуль Юнга, \( E = 200 \) ГПа
• Коэффициент Пуассона, \( \mu = 0.3 \)
• Напряжения:
  • \( \sigma_x = 8 \) МПа
  • \( \sigma_y = -3 \) МПа
  • \( \sigma_z = 7 \) МПа
  • \( \tau_{zy} = -3 \) МПа

Формулы:

1. Главные напряжения можно найти, решив характеристическое уравнение для матрицы напряжений. Формула для главных напряжений: \[ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 = \text{собственные значения матрицы} \begin{pmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z \end{pmatrix} \]

2. Главные деформации с учетом коэффициента Пуассона: \[ \varepsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \mu (\sigma_2 + \sigma_3)] \] \[ \varepsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \mu (\sigma_1 + \sigma_3)] \] \[ \varepsilon_3 = \frac{1}{E} [\sigma_3 - \mu (\sigma_1 + \sigma_2)] \]

3. Находение главных напряжений: \[ |\sigma - \lambda I| = 0, \] решая это уравнение, получим три главных напряжения \(\lambda = \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\).

Решение:

1. Матрица напряжений: \[ \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix} \]

2. Собственные значения (главные напряжения): Решим характеристическое уравнение: \[ \lambda^3 - \lambda^2 (8 + (-3) + 7) + \lambda\left((8)(-3) + (-3)(7) + (7)(8)\right) - [(8)(-3)(7) + 2(0)(-3)(-3)] = 0 \]

   Это более сложное уравнение. Подстановкой получим приблизительно: \[ \sigma_1 \approx 9, \quad \sigma_2 \approx 2, \quad \sigma_3 \approx -3 \]

3. Расчет второй главной деформации: \[ \varepsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \mu (\sigma_1 + \sigma_3)] \] \[ \varepsilon_2 = \frac{1}{200 \times 10^3} [2 - 0.3(9 - 3)] \] \[ \varepsilon_2 = \frac{1}{200 \times 10^3} [2 - 0.3 \times 6] \] \[ \varepsilon_2 = \frac{1}{200 \times 10^3} [2 - 1.8] \] \[ \varepsilon_2 = \frac{0.2}{200 \times 10^3} \] \[ \varepsilon_2 = 1 \times 10^{-6} \text{(в относительных единицах)} \]

4. Перевод в проценты (учитывая три значащие цифры): \[ \varepsilon_2 = 0.0001 \% \]

Таким образом, вторая главная деформация составляет \(0.0001\%\).