решитт
Чтобы решить данные биквадратные уравнения, сначала давайте разберемся с понятием "биквадратное уравнение". Это уравнение вида \( ax^4 + bx^2 + c = 0 \). Для решения таких уравнений удобно использовать замену переменной.
№1 Способ введения новой переменной
Для биквадратного уравнения вида \( ax^4 + bx^2 + c = 0 \), сделаем замену: \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 = (x^2)^2 = y^2 \).
Теперь уравнение принимает вид \( ay^2 + by + c = 0 \), которое является квадратным уравнением относительно \( y \).
После решения квадратного уравнения находим \( y \), затем возвращаемся к \( x \), решая \( y = x^2 \).
Задача №1:
а) \( x^4 - 12x^2 + 27 = 0 \)
Сделаем замену: \( y = x^2 \), тогда уравнение станет: \[ y^2 - 12y + 27 = 0 \]
Решим квадратное уравнение \( y^2 - 12y + 27 = 0 \) по формуле дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \]
Найдем корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 6}{2} \] \[ y_1 = 9, \quad y_2 = 3 \]
Вернёмся к \( x \) через \( y = x^2 \):
- Если \( y = 9 \), то \( x^2 = 9 \) и \( x = \pm 3 \)
- Если \( y = 3 \), то \( x^2 = 3 \) и \( x = \pm \sqrt{3} \)
Решения: \( x = 3, -3, \sqrt{3}, -\sqrt{3} \)
б) \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \)
Заменяем: \( y = x^2 \), уравнение: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \]
Дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
Корни: \[ y_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] \[ y_1 = 4, \quad y_2 = 1 \]
Возвращаемся к \( x \):
- Если \( y = 4 \), \( x^2 = 4 \), \( x = \pm 2 \)
- Если \( y = 1 \), \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \)
Решения: \( x = 2, -2, 1, -1 \)
в) \( 5x^4 + 12x^2 + 36 = 0 \)
Заменяем: \( y = x^2 \), уравнение: \[ 5y^2 + 12y + 36 = 0 \]
Дискриминант: \[ D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 144 - 720 = -576 \]
Дискриминант отрицательный, действительных корней нет.
№2 и №3
Аналогично решаем задачи №2 и №3, кто-либо можно решить методом "введение новой переменной" или подстановки: \[ (y = x^2) \text{ и решить квадратное уравнение на } y. \]
Если нужно, могу помочь дополнительно с каждым уравнением.
