Чтобы найти главные напряжения в заданном состоянии напряжения, необходимо использовать тензор напряжений и найти его собственные значения.
1. Матрица напряжений
Дан тензор напряжений в матрице:
[
\begin{bmatrix}
\sigma_x & 0 & 0 \
0 & \sigma_y & \tau_{zy} \
0 & \tau_{zy} & \sigma_z \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-3 & 0 & 0 \
0 & 1 & 3 \
0 & 3 & -7 \
\end{bmatrix}
]
2. Характеристическое уравнение
Характеристическое уравнение для нахождения собственных значений (главных напряжений) выглядит следующим образом:
[
\begin{vmatrix}
\sigma_x - \lambda & 0 & 0 \
0 & \sigma_y - \lambda & \tau_{zy} \
0 & \tau_{zy} & \sigma_z - \lambda \
\end{vmatrix}
= 0
]
Распишем определитель:
[
(\sigma_x - \lambda)((\sigma_y - \lambda)(\sigma_z - \lambda) - \tau_{zy}^2) = 0
]
[
(-3 - \lambda)((1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 3^2) = 0
]
3. Решение уравнения
Упростим исчезающий детерминант:
[
(-3 - \lambda)((1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 9) = 0
]
Внутреннее выражение:
[
(1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 9 = \lambda^2 + 6\lambda - 16
]
Итак, у нас:
[
(-3 - \lambda)(\lambda^2 + 6\lambda - 16) = 0
]
Система разбивается на:
- (-3 - \lambda = 0) → (\lambda_3 = -3)
- (\lambda^2 + 6\lambda - 16 = 0)
4. Решение квадратного уравнения
Решаем квадратное уравнение: (\lambda^2 + 6\lambda - 16 = 0)
Считаем дискриминант:
[
D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100
]
Корни:
[
\lambda_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2}
]
[
\lambda_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2
]
[
\lambda_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8
]
Ответ
Главные напряжения равны ( \lambda_1 = 2 ) МПа, ( \lambda_2 = -8 ) МПа, ( \lambda_3 = -3 ) МПа.
Третье главное напряжение: (-3) МПа.
