Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=−3 МПа; σy=1 МПа; σz=−7 МПа; τzy=3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных…

Чтобы найти главные напряжения в заданном состоянии напряжения, необходимо использовать тензор напряжений и найти его собственные значения.

1. Матрица напряжений

Дан тензор напряжений в матрице:

\[ \begin{bmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & -7 \\ \end{bmatrix} \]

2. Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение для нахождения собственных значений (главных напряжений) выглядит следующим образом:

\[ \begin{vmatrix} \sigma_x - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y - \lambda & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z - \lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \]

Распишем определитель:

\[ (\sigma_x - \lambda)((\sigma_y - \lambda)(\sigma_z - \lambda) - \tau_{zy}^2) = 0 \]

\[ (-3 - \lambda)((1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 3^2) = 0 \]

3. Решение уравнения

Упростим исчезающий детерминант:

\[ (-3 - \lambda)((1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 9) = 0 \]

Внутреннее выражение:

\[ (1 - \lambda)(-7 - \lambda) - 9 = \lambda^2 + 6\lambda - 16 \]

Итак, у нас:

\[ (-3 - \lambda)(\lambda^2 + 6\lambda - 16) = 0 \]

Система разбивается на:

1. \(-3 - \lambda = 0\) → \(\lambda_3 = -3\)
2. \(\lambda^2 + 6\lambda - 16 = 0\)

4. Решение квадратного уравнения

Решаем квадратное уравнение: \(\lambda^2 + 6\lambda - 16 = 0\)

Считаем дискриминант:

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \]

Корни:

\[ \lambda_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} \]

\[ \lambda_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2 \]

\[ \lambda_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8 \]

Ответ

Главные напряжения равны \( \lambda_1 = 2 \) МПа, \( \lambda_2 = -8 \) МПа, \( \lambda_3 = -3 \) МПа.

Третье главное напряжение: \(-3\) МПа.