Чтобы решить уравнение (x^2 = 4x - 4) графически, начнем с его преобразования. Преобразуем его в стандартную форму:
- Переносим все слагаемые на одну сторону:
[
x^2 - 4x + 4 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение в форме (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 1), (b = -4), (c = 4).
- Определим графически функции:
- Функция (y_1 = x^2) и
- Функция (y_2 = 4x - 4).
Найдем точки пересечения этих двух графиков, так как они являются решениями уравнения (x^2 = 4x - 4).
Построим графики:
- График (y = x^2) — это парабола, открытая вверх и проходящая через начало координат.
- График (y = 4x - 4) — это прямая, имеющая угол наклона 4 и пересекающая ось y в точке -4.
- Найдите точки пересечения:
Чтобы найти точки пересечения, решим систему уравнений:
[
x^2 = 4x - 4
]
Мы уже преобразовали уравнение в стандартную форму (x^2 - 4x + 4 = 0). Это уравнение можно решить, используя формулу нахождения корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
- Подставим значения (a), (b) и (c):
[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}
]
[
x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2}
]
[
x = \frac{4}{2} = 2
]
- Поскольку дискриминант (то есть часть под корнем) равен 0, это уравнение имеет только один (двойной) корень.
Таким образом, единственный корень уравнения:
[
x = 2
]
Так как в задаче указано, что если корней несколько, то необходимо указать меньший из корней, то мы можем также записать:
Ответ: (x = 2)
