Четвероклассники участвовали в математической олимпиаде третий из них неверно решили по одной задаче пятая часть неверно решила по две задачи шестая часть неверно решили по три…

Давайте разберем задачу по шагам.

1. Обозначения:
   Обозначим общее количество участников как \( N \). Из условия известно, что \( N \leq 30 \).

2. Численность учеников:

   • Третий из участников неверно решил по одной задаче. То есть треть из \( N \):
     \[ \frac{N}{3} \]
   • Пятая часть неверно решили по две задачи. То есть пятая часть из \( N \):
     \[ \frac{N}{5} \]
   • Шестая часть неверно решили по три задачи. То есть шестая часть из \( N \):
     \[ \frac{N}{6} \]

3. Общее количество учеников:
   Теперь нам нужно сложить количество учеников, которые неверно решили задачи:

   • Учащиеся, неверно решившие по одной задаче:
     \[ \frac{N}{3} \]
   • Учащиеся, неверно решившие по две задачи:
     \[ \frac{N}{5} \]
   • Учащиеся, неверно решившие по три задачи:
     \[ \frac{N}{6} \]

   Сложим эти выражения: \[ \frac{N}{3} + \frac{N}{5} + \frac{N}{6} \]

4. Находить общий знаменатель:
   Общий знаменатель для 3, 5 и 6 — это 30. Приводим дроби к общему знаменателю: \[ \frac{N}{3} = \frac{10N}{30}, \quad \frac{N}{5} = \frac{6N}{30}, \quad \frac{N}{6} = \frac{5N}{30} \] Теперь можем сложить: \[ \frac{10N + 6N + 5N}{30} = \frac{21N}{30} \]

5. Количество учеников, которые решили задачи правильно:
   Количество учеников, которые решали задачи правильно, будет равно общему количеству участников минус те, кто ошибся: \[ N - \frac{21N}{30} = \frac{30N - 21N}{30} = \frac{9N}{30} = \frac{3N}{10} \]

6. Ограничение на количество участников:
   Поскольку это должно быть целое число, \( N \) должно делиться на 10. Возможные значения для \( N \), которые соответствуют \( N \leq 30 \): \[ N = 10, 20, 30 \]

7. Подсчет правильных решений:

   • Если \( N = 10 \):
     \[ \frac{3 \times 10}{10} = 3 \]
   • Если \( N = 20 \):
     \[ \frac{3 \times 20}{10} = 6 \]
   • Если \( N = 30 \):
     \[ \frac{3 \times 30}{10} = 9 \]

8. Вывод:
   Таким образом, количество учеников, которые правильно решили все четыре задачи, может быть 3, 6 или 9, в зависимости от того, сколько всего участников в олимпиаде.