Для вычисления ( \cot a ) (котангенса) из условия ( \cos a = \frac{8}{\sqrt{65}} ) и ( 0 < a < \frac{\pi}{2} ) нам потребуются несколько тригонометрических соотношений.
Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество
Мы знаем, что для любого угла ( a ) выполняется следующее тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Шаг 2: Находим ( \sin a )
Подставим известное значение ( \cos a ):
[
\sin^2 a + \left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)^2 = 1
]
Вычислим ( \left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)^2 ):
[
\left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)^2 = \frac{64}{65}
]
Подставим это значение в уравнение:
[
\sin^2 a + \frac{64}{65} = 1
]
Чтобы найти ( \sin^2 a ), вычтем ( \frac{64}{65} ) из 1:
[
\sin^2 a = 1 - \frac{64}{65} = \frac{1}{65}
]
Теперь извлечем корень:
[
\sin a = \sqrt{\frac{1}{65}} = \frac{1}{\sqrt{65}}
]
Так как ( 0 < a < \frac{\pi}{2} ), то ( \sin a ) положительно.
Шаг 3: Вычисляем ( \cot a )
Теперь, когда у нас есть значения ( \sin a ) и ( \cos a ), мы можем вычислить ( \cot a ):
[
\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}
]
Подставим известные значения:
[
\cot a = \frac{\frac{8}{\sqrt{65}}}{\frac{1}{\sqrt{65}}}
]
При делении дробей (\frac{a}{b}) можно умножить на обратное:
[
\cot a = \frac{8}{\sqrt{65}} \times \frac{\sqrt{65}}{1} = 8
]
Ответ
Таким образом, значение ( \cot a ) равно 8:
[
\cot a = 8
]
