Вычисли ctg a,зная, что cos a=8/√65 и 0<a<п/2

Для вычисления \( \cot a \) (котангенса) из условия \( \cos a = \frac{8}{\sqrt{65}} \) и \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \) нам потребуются несколько тригонометрических соотношений.

Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество

Мы знаем, что для любого угла \( a \) выполняется следующее тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Шаг 2: Находим \( \sin a \)

Подставим известное значение \( \cos a \):

\[ \sin^2 a + \left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)^2 = 1 \]

Вычислим \( \left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)^2 \):

\[ \left(\frac{8}{\sqrt{65}}\right)^2 = \frac{64}{65} \]

Подставим это значение в уравнение:

\[ \sin^2 a + \frac{64}{65} = 1 \]

Чтобы найти \( \sin^2 a \), вычтем \( \frac{64}{65} \) из 1:

\[ \sin^2 a = 1 - \frac{64}{65} = \frac{1}{65} \]

Теперь извлечем корень:

\[ \sin a = \sqrt{\frac{1}{65}} = \frac{1}{\sqrt{65}} \]

Так как \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \), то \( \sin a \) положительно.

Шаг 3: Вычисляем \( \cot a \)

Теперь, когда у нас есть значения \( \sin a \) и \( \cos a \), мы можем вычислить \( \cot a \):

\[ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \]

Подставим известные значения:

\[ \cot a = \frac{\frac{8}{\sqrt{65}}}{\frac{1}{\sqrt{65}}} \]

При делении дробей \(\frac{a}{b}\) можно умножить на обратное:

\[ \cot a = \frac{8}{\sqrt{65}} \times \frac{\sqrt{65}}{1} = 8 \]

Ответ

Таким образом, значение \( \cot a \) равно 8:

\[ \cot a = 8 \]