Для решения этой задачи нам нужно использовать уравнение, связывающее энергию фотонов, их длину волны и характеристики фотоэлектронов. Начнем с некоторых основ.
Шаг 1: Формулы и понятия
Энергия фотоэлемента (E):
Энергия фотона может быть выражена через его длину волны (λ) следующим образом:
[
E = \frac{hc}{\lambda}
]
где:
- ( E ) — энергия фотона в джоулях,
- ( h ) — постоянная Планка ((6,6 \times 10^{-34} , \text{Дж} \cdot \text{с})),
- ( c ) — скорость света ((3 \times 10^8 , \text{м/с})),
- ( \lambda ) — длина волны в метрах.
Кинетическая энергия (KE):
Кинетическая энергия (KE) фотоэлектрона может быть выражена так:
[
KE = \frac{mv^2}{2}
]
где:
- ( m ) — масса электрона ((9,1 \times 10^{-31} , \text{кг})),
- ( v ) — скорость электрона (в нашем случае 10 Мм/с или (10 \times 10^{-3} , \text{м/с})).
Полное уравнение для работы выхода (Aвых):
Работа выхода — это энергия, необходимая для выбивания электрона:
[
E = Aвых + KE
]
Отсюда можно выразить энергию фотона:
[
E = Aвых + \frac{mv^2}{2}
]
Шаг 2: Подстановка значений
Прежде всего, рассчитаем кинетическую энергию электрона:
[
KE = \frac{(9,1 \times 10^{-31} , \text{кг}) \cdot (10 \times 10^{-3} , \text{м/с})^2}{2}
]
Рассчитаем:
[
KE = \frac{(9,1 \times 10^{-31}) \cdot (0.01)}{2} = \frac{9,1 \times 10^{-33}}{2} = 4,55 \times 10^{-33} , \text{Дж}
]
Теперь подставим значение Aвых, которое дано:
[
Aвых = 5 \times 10^{-19} , \text{Дж}
]
Шаг 3: Подсчет общей энергии
Складываем:
[
E = Aвых + KE = 5 \times 10^{-19} , \text{Дж} + 4,55 \times 10^{-33} , \text{Дж} \approx 5 \times 10^{-19} , \text{Дж}
]
(Кинетическая энергия очень мала по сравнению с работой выхода и её можно пренебречь.)
Шаг 4: Находим длину волны
Теперь подставим найденную энергию в уравнение для энергии фотона:
[
5 \times 10^{-19} = \frac{(6,6 \times 10^{-34})(3 \times 10^8)}{\lambda}
]
Решим это уравнение для λ:
[
\lambda = \frac{(6,6 \times 10^{-34})(3 \times 10^8)}{5 \times 10^{-19}}
]
Шаг 5: Подсчеты
Теперь вычислим:
[
\lambda = \frac{1,98 \times 10^{-25}}{5 \times 10^{-19}} = 3,96 \times 10^{-7} , \text{м}
]
Шаг 6: Преобразование в нанометры
Чтобы получить результат в нанометрах:
[
\lambda = 3,96 \times 10^{-7} , \text{м} = 396 , \text{нм}
]
Итоговый ответ
Длина волны света, при котором максимальная скорость фотоэлектронов будет 10 Мм/с, составляет 396 нм.
