На расстоянии 7 и 15 от центра шара проведены два параллельных сечения радиусы которых относятся как 6:5. Найдите радиус шара

Чтобы решить задачу, давайте разберем, что нам дано, и как мы можем найти радиус шара.

Дано:

• Расстояние от центра шара до первого сечения (h₁) = 7
• Расстояние от центра шара до второго сечения (h₂) = 15
• Радиусы двух сечений (R₁ и R₂) относятся как 6:5.

Найти:

• Радиус шара (R).

Решение:

1. Связь радиуса шара и радиусов сечений: По теореме о сечении шара, радиусы сечений можно выразить через радиус шара R и расстояния от центра шара до сечений h₁ и h₂: \[ R₁ = \sqrt{R^2 - h₁^2} \] \[ R₂ = \sqrt{R^2 - h₂^2} \]

2. Отношение радиусов: Поскольку радиусы сечений R₁ и R₂ относятся как 6:5, мы можем записать: \[ \frac{R₁}{R₂} = \frac{6}{5} \]

3. Подставим выражения для радиусов сечений: Подставляем выражения через радиус шара: \[ \frac{\sqrt{R^2 - h₁^2}}{\sqrt{R^2 - h₂^2}} = \frac{6}{5} \]

4. Возведем обе стороны в квадрат для избавления от корней: \[ \frac{R^2 - h₁^2}{R^2 - h₂^2} = \frac{36}{25} \]

5. Перепишем уравнение: Перемножим крест-накрест: \[ 25(R^2 - h₁^2) = 36(R^2 - h₂^2) \] Раскроем скобки: \[ 25R^2 - 25h₁^2 = 36R^2 - 36h₂^2 \]

6. Соберем все R² в одну сторону: \[ 25R^2 - 36R^2 = -36h₂^2 + 25h₁^2 \] \[ -11R^2 = -36h₂^2 + 25h₁^2 \] \[ 11R^2 = 36h₂^2 - 25h₁^2 \]

7. Подставляем значения h₁ и h₂: Подставим h₁ = 7 и h₂ = 15: \[ 11R^2 = 36(15)^2 - 25(7)^2 \]

8. Считаем: Сначала вычислим квадраты: \[ 15^2 = 225, \quad 7^2 = 49 \] Теперь подставим: \[ 11R^2 = 36(225) - 25(49) \] \[ 11R^2 = 8100 - 1225 = 6875 \] \[ R^2 = \frac{6875}{11} \]

9. Вычислим R²: \[ R^2 \approx 625 \] Теперь найдем R: \[ R = \sqrt{625} = 25 \]

Ответ:

Радиус шара равен 25 единицам.