Для решения задачи о преломлении света в стеклянном кубе мы будем использовать закон Снеллиуса, который описывает, как свет преломляется на границе двух сред.
Дано:
- Угол падения α = 45°
- Ребро куба (длина стороны) = 400 мм
- Показатель преломления стекла n2 = 1,5 (где n1 = 1 для воздуха)
Задача:
Найти расстояние DC, на которое сместится преломленный луч от левой грани куба.
Шаг 1: Применим закон Снеллиуса
Закон Снеллиуса говорит, что:
[
n_1 \cdot \sin(\alpha) = n_2 \cdot \sin(\beta)
]
где:
- (n_1) — показатель преломления первой среды (воздуха, (n_1 = 1))
- (n_2) — показатель преломления второй среды (стекло, (n_2 = 1,5))
- (\alpha) — угол падения (первый угол)
- (\beta) — угол преломления в стекле.
Подставим известные значения:
[
1 \cdot \sin(45°) = 1.5 \cdot \sin(\beta)
]
Зная, что (\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}), уравнение можно записать так:
[
\frac{\sqrt{2}}{2} = 1.5 \cdot \sin(\beta)
]
Теперь выразим (\sin(\beta)):
[
\sin(\beta) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1.5} = \frac{\sqrt{2}}{3}
]
Шаг 2: Найдём угол β
Теперь вычислим угол (\beta):
[
\beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)
]
Приблизительно (\beta \approx 0.4636) радиан (или около 26.57°).
Шаг 3: Находим смещение DC
Следующим шагом будет нахождение расстояния смещения DC. Поскольку куб имеет ребро 400 мм, луч, попадая в куб, проходит до противоположной грани, и важно найти смещение по горизонтали.
Выразим это смещение через высоту и угол (\beta).
К сожалению, простое разложение на треугольники не даст однозначного результата, поскольку луч проходит через куб. Однако, у нас есть возможность использовать тригонометрические функции для нахождения горизонтального смещения.
Чтобы найти, сколько сместился луч от левой грани, воспользуемся следующим:
Расстояние, пройденное светом в вертикальной проекции (высота куба):
[
H = 400 , \text{мм}
]
Оно будет равно:
[
DC = L - L' = H \cdot \tan(\beta)
]
где (H) – высота проходящего света внутри куба и (L') – смещение от ребра. Используя угол (\beta):
[
L' = H \cdot \tan(26.57°) \approx 400 \cdot 0.5 = 200 , \text{мм}
]
Шаг 4: Считаем расстояние DC
Теперь окончательно найдем расстояние DC:
[
DC = H - L' = 400 - 200 = 200 , \text{мм}
]
Ответ
Расстояние, на которое сместится преломленный луч от левой грани куба, равно 200 миллиметров.
