Луч света падает под углом α=450 из воздуха в вершину K стеклянного куба с ребром 400 миллиметров. Найдите расстояние DC, на которое сместится преломленный луч от левой грани…

Для решения задачи о преломлении света в стеклянном кубе мы будем использовать закон Снеллиуса, который описывает, как свет преломляется на границе двух сред.

Дано:

• Угол падения α = 45°
• Ребро куба (длина стороны) = 400 мм
• Показатель преломления стекла n2 = 1,5 (где n1 = 1 для воздуха)

Задача: Найти расстояние DC, на которое сместится преломленный луч от левой грани куба.

Шаг 1: Применим закон Снеллиуса

Закон Снеллиуса говорит, что:

\[ n_1 \cdot \sin(\alpha) = n_2 \cdot \sin(\beta) \]

где:

• \(n_1\) — показатель преломления первой среды (воздуха, \(n_1 = 1\))
• \(n_2\) — показатель преломления второй среды (стекло, \(n_2 = 1,5\))
• \(\alpha\) — угол падения (первый угол)
• \(\beta\) — угол преломления в стекле.

Подставим известные значения:

\[ 1 \cdot \sin(45°) = 1.5 \cdot \sin(\beta) \]

Зная, что \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), уравнение можно записать так:

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} = 1.5 \cdot \sin(\beta) \]

Теперь выразим \(\sin(\beta)\):

\[ \sin(\beta) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1.5} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

Шаг 2: Найдём угол β

Теперь вычислим угол \(\beta\):

\[ \beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \]

Приблизительно \(\beta \approx 0.4636\) радиан (или около 26.57°).

Шаг 3: Находим смещение DC

Следующим шагом будет нахождение расстояния смещения DC. Поскольку куб имеет ребро 400 мм, луч, попадая в куб, проходит до противоположной грани, и важно найти смещение по горизонтали.

Выразим это смещение через высоту и угол \(\beta\).

К сожалению, простое разложение на треугольники не даст однозначного результата, поскольку луч проходит через куб. Однако, у нас есть возможность использовать тригонометрические функции для нахождения горизонтального смещения.

Чтобы найти, сколько сместился луч от левой грани, воспользуемся следующим:

1. Расстояние, пройденное светом в вертикальной проекции (высота куба): \[ H = 400 \, \text{мм} \]

2. Оно будет равно: \[ DC = L - L' = H \cdot \tan(\beta) \]

где \(H\) – высота проходящего света внутри куба и \(L'\) – смещение от ребра. Используя угол \(\beta\):

\[ L' = H \cdot \tan(26.57°) \approx 400 \cdot 0.5 = 200 \, \text{мм} \]

Шаг 4: Считаем расстояние DC

Теперь окончательно найдем расстояние DC:

\[ DC = H - L' = 400 - 200 = 200 \, \text{мм} \]

Ответ

Расстояние, на которое сместится преломленный луч от левой грани куба, равно 200 миллиметров.