Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Математический анализ 2. Тема теста: Анализ комплексного переменного 3. Класс учеников: 11 4. Типы вопросов в тесте: Открытый вопрос 5. Количество вопросов: 5 6. Выводить ли тест с ответами: Да

**Тест по Математическому анализу** **Тема: Анализ комплексного переменного** **Класс: 11** **Время выполнения: 60 минут** --- **Вопрос 1:** Сформулируйте теорему Коши для комплексного дифференцирования. *Ответ:* --- **Вопрос 2:** Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы функция была дифференцируема в точке комплексной плоскости? *Ответ:* --- **Вопрос 3:** Докажите, что если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$, то она аналитична в этой области. *Ответ:* --- **Вопрос 4:** Что такое вычет функции в комплексной точке? *Ответ:* --- **Вопрос 5:** Сформулируйте принцип максимума модуля для голоморфной функции. *Ответ:* --- **Ответы:** 1. Теорема Коши для комплексного дифференцирования утверждает, что если функция $f(z)$ аналитична в замкнутой области $D$ кругового типа и непрерывна на границе этого круга, то для любой точки $z_0$ внутри этого круга выполняется равенство $f^{(n)} (z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz$, где $n$ - порядок производной, $f^{(n)} (z_0)$ - значение $n$-ой производной функции в точке $z_0$, а $\gamma$ - замкнутый контур, лежащий внутри области $D$. 2. Функция $f(z)$ дифференцируема в точке $z=z_0$, если существует предел $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$. 3. Для доказательства аналитичности функции $f(z)$ в области $D$ используется ряд Тейлора: $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n$, который сходится к $f(z)$ в некоторой окрестности точки $z_0$. 4. Вычет функции $f(z)$ в точке $z_0$ обозначается символом $Res[f, z_0]$ и определяется как коэффициент $c_{-1}$ в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки $z_0$. 5. Принцип максимума модуля утверждает, что если функция $f(z)$ голоморфна внутри замкнутого контура $C$, то максимальное значение модуля функции достигается на границе этого контура.