Отобрать корни на отрезке [3π2; 3π] из серий решений x=−π6+πk2, k∈Z .

Чтобы решить задачу, нам нужно отобрать корни из приведенной серии решений \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \), и выбрать только те, которые находятся на отрезке \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).

Шаг 1: Найдем значения при различных \( k \)

Для начала, давайте подставим несколько значений \( k \) в выражение \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \) и определим, попадают ли результаты в наш заданный отрезок.

• Для \( k = 0 \):
  \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = -\frac{\pi}{6} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \]

• Для \( k = 1 \):
  \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \]

• Для \( k = 2 \):
  \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \]

• Для \( k = 3 \):
  \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 3}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{9\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \]

• Для \( k = 4 \):
  \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 4}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \quad (\text{попадает в отрезок}) \]

• Для \( k = 5 \):
  \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 5}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{15\pi}{6} = \frac{14\pi}{6} = \frac{7\pi}{3} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \]

• Для \( k = 6 \):
  \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 6}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \]

Шаг 2: Находим границы отрезка

Сравним \( \frac{4\pi}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} \) с помощью оценки:

\[ \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \quad \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6} \]

Результат показывает, что \( \frac{4\pi}{3} \) не попадает в отрезок \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).

Шаг 3: Вывод

После подстановки различных целых значений \( k \), единственным решением, которое попадает в указанный отрезок, является:

• \( k = 4 \), с \( x = \frac{11\pi}{6} \)

Ответ

Корень на отрезке \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \) из серии решений:

• \( x = \frac{11\pi}{6} \)