Отобрать корни на отрезке [3π2; 3π] из серий решений x=−π6+πk2, k∈Z .

Чтобы решить задачу, нам нужно отобрать корни из приведенной серии решений \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \), и выбрать только те, которые находятся на отрезке \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \). ### Шаг 1: Найдем значения при различных \( k \) Для начала, давайте подставим несколько значений \( k \) в выражение \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \) и определим, попадают ли результаты в наш заданный отрезок. - **Для \( k = 0 \)**: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = -\frac{\pi}{6} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \] - **Для \( k = 1 \)**: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \] - **Для \( k = 2 \)**: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \] - **Для \( k = 3 \)**: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 3}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{9\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \] - **Для \( k = 4 \)**: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 4}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \quad (\text{попадает в отрезок}) \] - **Для \( k = 5 \)**: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 5}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{15\pi}{6} = \frac{14\pi}{6} = \frac{7\pi}{3} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \] - **Для \( k = 6 \)**: \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi \cdot 6}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \quad (\text{не попадает в отрезок}) \] ### Шаг 2: Находим границы отрезка Сравним \( \frac{4\pi}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} \) с помощью оценки: \[ \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \quad \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6} \] Результат показывает, что \( \frac{4\pi}{3} \) не попадает в отрезок \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \). ### Шаг 3: Вывод После подстановки различных целых значений \( k \), единственным решением, которое попадает в указанный отрезок, является: - \( k = 4 \), с \( x = \frac{11\pi}{6} \) ### Ответ Корень на отрезке \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \) из серии решений: - \( x = \frac{11\pi}{6} \)