Трёхзначное число, сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа

Давайте шаг за шагом решим задачу.

1. Обозначение числа:
   Пусть трёхзначное число обозначается как \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — это цифры числа. Здесь \(a\) — это сотые, \(b\) — десятки, \(c\) — единицы. Значит, в числовом выражении это число можно записать как: \[ 100a + 10b + c \]

   Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет: \[ 100c + 10b + a \]

2. Составление уравнения:
   Мы знаем, что сумма этих двух чисел равна 685: \[ (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 685 \]

   Упростим это уравнение: \[ 101a + 20b + 101c = 685 \]

3. Упрощение уравнения:
   Выразим уравнение более компактно: \[ 101(a + c) + 20b = 685 \] Далее, мы можем упростить уравнение, в начале выделив 101: \[ 101(a + c) = 685 - 20b \]

4. Определение возможных значений:
   Поскольку \( a, b, c \) должны быть цифрами от 0 до 9 и \( a \) не может быть 0 (так как это трёхзначное число), начнем исследовать возможные значения \( b \).

5. Поиск вариантов для \( b \):
   \( 685 - 20b \) должно быть кратно 101, так как это выражение равно \( 101(a + c) \). Теперь посмотрим, какие значения может принимать \( b \):

   • Если \( b = 0 \): \[ 685 - 20 \cdot 0 = 685 \] \[ 685 / 101 \approx 6.79 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Если \( b = 1 \): \[ 685 - 20 \cdot 1 = 665 \] \[ 665 / 101 \approx 6.58 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Если \( b = 2 \): \[ 685 - 20 \cdot 2 = 645 \] \[ 645 / 101 \approx 6.39 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Если \( b = 3 \): \[ 685 - 20 \cdot 3 = 605 \] \[ 605 / 101 = 6 \quad (a + c = 6) \]

   • Если \( b = 4 \): \[ 685 - 20 \cdot 4 = 565 \] \[ 565 / 101 \approx 5.59 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Если \( b = 5 \): \[ 685 - 20 \cdot 5 = 485 \] \[ 485 / 101 \approx 4.8 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Если \( b = 6 \): \[ 685 - 20 \cdot 6 = 425 \] \[ 425 / 101 \approx 4.21 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Если \( b = 7 \): \[ 685 - 20 \cdot 7 = 365 \] \[ 365 / 101 \approx 3.61 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Если \( b = 8 \): \[ 685 - 20 \cdot 8 = 305 \] \[ 305 / 101 \approx 3.02 \quad (\text{не подходит}) \]

   • Если \( b = 9 \): \[ 685 - 20 \cdot 9 = 245 \] \[ 245 / 101 \approx 2.43 \quad (\text{не подходит}) \]

6. Уже имеем подходящее значение:
   При \( b = 3 \) у нас получилось: \[ a + c = 6 \] Теперь, решая уравнение \( a + c = 6 \), мы можем выбрать такие пары (a, c), которые будут удовлетворять этому уравнению. Возможные пары:

   • \( (0, 6) \)
   • \( (1, 5) \)
   • \( (2, 4) \)
   • \( (3, 3) \)
   • \( (4, 2) \)
   • \( (5, 1) \)
   • \( (6, 0) \)

   Помним, что \( a \) не может быть 0 (так как число трёхзначное). Таким образом, остаётся:

   • \( (1, 5) \)
   • \( (2, 4) \)
   • \( (3, 3) \)
   • \( (4, 2) \)
   • \( (5, 1) \)

7. Поиск суммы цифр:
   Теперь мы можем найти значение суммы цифр исходного числа:

   • Для \( (1, 5) \): \( 1 + 3 + 5 = 9 \)
   • Для \( (2, 4) \): \( 2 + 3 + 4 = 9 \)
   • Для \( (3, 3) \): \( 3 + 3 + 3 = 9 \)
   • Для \( (4, 2) \): \( 4 + 3 + 2 = 9 \)
   • Для \( (5, 1) \): \( 5 + 3 + 1 = 9 \)

Во всех случаях сумма цифр одинаковая и равна 9.

Ответ: Сумма цифр исходного числа равна 9.