Сделай задания и нарисуй графики

Давайте разберем каждое из данных заданий шаг за шагом. ### 1. Уравнение прямой через точку и середину отрезка **Задача:** Составить уравнение прямой, проходящей через точку \( A(-2, 6) \) и середину отрезка \( MN \), где \( M(4, -3) \) и \( N(1, 2) \). **Шаги решения:** 1. **Найдем середину отрезка \( MN \):** \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Подставим значения точек \( M \) и \( N \): \[ \left( \frac{4 + 1}{2}, \frac{-3 + 2}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{-1}{2} \right) \] 2. **Найдем уравнение прямой через точки \( A(-2, 6) \) и середину \(\left( \frac{5}{2}, \frac{-1}{2} \right)\):** Формула уравнения прямой через две точки: \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \] Подставим: \[ y - 6 = \frac{\frac{-1}{2} - 6}{\frac{5}{2} + 2} \left( x + 2 \right) \] Посчитаем наклон (коэффициент углового): \[ = \frac{-\frac{13}{2}}{\frac{9}{2}} = -\frac{13}{9} \] Уравнение: \[ y - 6 = -\frac{13}{9} (x + 2) \] Упростим: \[ y = -\frac{13}{9}x - \frac{26}{9} + \frac{54}{9} \] \[ y = -\frac{13}{9}x + \frac{28}{9} \] ### 2. Вычислить пределы **Задача 1:** \[ \lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - x - 30}{5x^2 - 5x} \] **Решение:** 1. Попробуем подставить \( x = 3 \): \[ \frac{3(3)^2 - 3 - 30}{5(3)^2 - 5(3)} = \frac{27 - 3 - 30}{45 - 15} = \frac{-6}{30} = -\frac{1}{5} \] Предел в точке 3 равен \(-\frac{1}{5}\). **Задача 2:** \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x + 2}{x^2 + 5x + 6} \] **Решение:** 1. Домножим числитель и знаменатель на \(\frac{1}{x^2}\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}} \] Поскольку \( x \to \infty \), \(\frac{3}{x} \to 0\) и \(\frac{2}{x^2} \to 0\), \(\frac{5}{x} \to 0\), \(\frac{6}{x^2} \to 0\). Предел равен \(\frac{2}{1} = 2\). ### 3. Найти интегралы **Интеграл 1:** \[ \int (5x^4 - 3x + 2) \, dx \] **Решение:** 1. Применим правило интегрирования: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] 2. Вычислим: \[ \int 5x^4 \, dx = \frac{5}{5}x^5 = x^5 \] \[ \int -3x \, dx = -\frac{3}{2}x^2 \] \[ \int 2 \, dx = 2x \] 3. Ответ: \[ x^5 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \] **Интеграл 2:** \[ \int \frac{4}{5x^3} \, dx \] **Решение:** 1. Преобразуем: \[ \int \frac{4}{5}x^{-3} \, dx = \frac{4}{5} \int x^{-3} \, dx \] 2. Вычислим: \[ = \frac{4}{5} \left( -\frac{x^{-2}}{2} \right) = -\frac{2}{5}x^{-2} \] 3. Ответ: \[ -\frac{2}{5x^2} + C \] ### 4. Исследовать функцию и построить график: \( y = 2x^3 \) **Исследование функции:** 1. **Область определения**: вся числовая прямая. 2. **Нули функции**: \( y = 0 \), только при \( x = 0 \). 3. **Производная**: \( y' = 6x^2 \), нигде не обращается в 0, всегда положительна, значит функция строго возрастает. 4. **Вторая производная**: \( y'' = 12x \), знак меняется \( x = 0 \) – точка перегиба. **График**: График кубической функции, проходящей через начало координат, симметричен относительно начала и имеет точки перегиба в начале координат. ### 5. Комплексные числа * Выполнить действия в тригонометрической форме — значит преобразовать в тригонометрическую запись: Определим число \( z = a + bi \). **Модуль:** \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] **Аргумент:** \[ \arg z = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) \] Преобразовать в тригонометрическую форму: \[ z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta) \] В данном случае действия зависят от конкретного примера комплексного числа, которое нужно указать. Если у вас есть вопросы по решению конкретного задания, спрашивайте!