Сделай задания и сделай чертежи
Давайте по порядку разберём каждое задание.
1. Уравнение прямой
Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точку \( A(-2, 6) \) и середину отрезка \( MN \), где \( M(4, -3) \) и \( N(-1, 2) \), нужно найти середину отрезка \( MN \) и использовать уравнение прямой.
- Найдём середину отрезка \( MN \):
\[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{4 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 2}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right) \]
- Найдём угловой коэффициент \( k \) прямой, используя точки \( A(-2, 6) \) и середину \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right) \):
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-\frac{1}{2} - 6}{\frac{3}{2} - (-2)} = \frac{-\frac{13}{2}}{\frac{7}{2}} = -\frac{13}{7} \]
- Составим уравнение прямой:
Используем точку \( A \) и угловой коэффициент:
\[ y - 6 = -\frac{13}{7}(x + 2) \]
Упростим:
\[ y = -\frac{13}{7}x - \frac{26}{7} + 6 = -\frac{13}{7}x - \frac{26}{7} + \frac{42}{7} \]
\[ y = -\frac{13}{7}x + \frac{16}{7} \]
2. Пределы
а) \(\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 + x}{5x^2 + 6x}\)
Разделим числитель и знаменатель на \( x \):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x + 1}{5x + 6} = \frac{1}{6} \]
б) \(\lim_{x \to \infty} \frac{12x^2 - 5x + 7}{3x^2 + 2x - 5}\)
Поскольку степени в числителе и знаменателе равны, предел равен отношению коэффициентов при наивысшей степени:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{12}{3} = 4 \]
3. Интегралы
а) \(\int (3x^2 + x) \, dx\)
Решаем:
\[ \int (3x^2 + x) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int x \, dx = x^3 + \frac{x^2}{2} + C \]
б) \(\int \frac{5}{e^x} \, dx\)
Решаем:
\[ \int 5e^{-x} \, dx = -5e^{-x} + C \]
4. Функция и график
Исследуем функцию \( y = 2x^3 \).
- Найдём производную:
\[ y' = 6x^2 \]
- Критические точки:
Решим \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \]
- Проверим на экстремумы:
Поскольку \( y'' = 12x \), то второе производное положительное, при \( x = 0 \) минимум.
- График:
Функция \( y = 2x^3 \) - кубическая парабола, симметричная относительно начала координат.
5. Комплексные числа в тригонометрической форме
Пример:
Возьмем \( z = a + bi \).
Тригонометрическая форма:
\[ z = r(\cos \theta + i\sin \theta) \]
где \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \), \( \theta = \arctan{\frac{b}{a}} \).
Если нужны конкретные преобразования или операции, уточните комплексное число.
Если возникли вопросы по какому-либо заданию, дайте знать!
