Найти cos угла B если вершины треугольника A(1;2) B(-3;4)C(5;-2)

Чтобы найти косинус угла \( B \) в треугольнике \( ABC \) с вершинами \( A(1;2) \), \( B(-3;4) \) и \( C(5;-2) \), мы воспользуемся формулой косинуса угла, основанной на координатах.

1. Найдем векторы \( AB \) и \( BC \):

   • Вектор \( AB \) можно найти по координатам точек \( A \) и \( B \). \[ AB = B - A = (-3 - 1, 4 - 2) = (-4, 2) \]
   • Вектор \( BC \) находим по координатам точек \( B \) и \( C \). \[ BC = C - B = (5 + 3, -2 - 4) = (8, -6) \]

2. Найдем длины векторов:

   • Длина вектора \( AB \): \[ |AB| = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
   • Длина вектора \( BC \): \[ |BC| = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

3. Найдем скалярное произведение векторов \( AB \) и \( BC \):

   • Скалярное произведение \( AB \) и \( BC \): \[ AB \cdot BC = (-4) \cdot 8 + 2 \cdot (-6) = -32 - 12 = -44 \]

4. Используем формулу косинуса угла между векторами: \[ \cos B = \frac{AB \cdot BC}{|AB| \cdot |BC|} \] Подставим найденные значения: \[ \cos B = \frac{-44}{(2\sqrt{5}) \cdot (10)} = \frac{-44}{20\sqrt{5}} = \frac{-11}{5\sqrt{5}} \]

5. Упростим результат: \[ \cos B = \frac{-11\sqrt{5}}{25} \]

Таким образом, косинус угла \( B \) равен \( \frac{-11\sqrt{5}}{25} \).