реши неравенство (20х^2-32х+3)/(3х^2 +7х+2) ≤0

Для решения неравенства \(\frac{20x^2 - 32x + 3}{3x^2 + 7x + 2} \leq 0\), следуем пошагово.

Шаг 1: Найдем корни числителя и знаменателя

1. Числитель: \(20x^2 - 32x + 3 = 0\)

   Для нахождения корней уравнения воспользуемся формулой дискретного корня (формула Венера): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 20\), \(b = -32\), \(c = 3\).

   Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \times 20 \times 3 = 1024 - 240 = 784 \] Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня.

   Подставляем в формулу: \[ x_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{784}}{40} = \frac{32 \pm 28}{40} \] Корни: \[ x_1 = \frac{60}{40} = 1.5, \quad x_2 = \frac{4}{40} = 0.1 \]

2. Знаменатель: \(3x^2 + 7x + 2 = 0\)

   Используем ту же формулу. Здесь \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = 2\).

   Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \times 3 \times 2 = 49 - 24 = 25 \] Как и в предыдущем случае, дискриминант положительный.

   Подставляем в формулу: \[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \times 3} = \frac{-7 \pm 5}{6} \] Корни: \[ x_1 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-12}{6} = -2 \]

Шаг 2: Определяем знаки выражения

Итак, мы имеем следующие корни (разделяющие интервалы):

• Из числителя: \(x = 0.1\) и \(x = 1.5\)
• Из знаменателя: \(x = -2\) и \(x = -\frac{1}{3}\)

Теперь у нас есть четыре критических значения: \(-2\), \(-\frac{1}{3}\), \(0.1\) и \(1.5\).

Мы строим числовую прямую и проверяем знаки в каждом интервале:

1. Интервал \((-\infty, -2)\)
2. Интервал \((-2, -\frac{1}{3})\)
3. Интервал \((- \frac{1}{3}, 0.1)\)
4. Интервал \((0.1, 1.5)\)
5. Интервал \((1.5, +\infty)\)

Выберем по одному тестовому значению из каждого интервала, чтобы определить знак дроби:

• Для \(x = -3\): \(\frac{20(-3)^2 - 32(-3) + 3}{3(-3)^2 + 7(-3) + 2} > 0\)
• Для \(x = -1\): \(\frac{20(-1)^2 - 32(-1) + 3}{3(-1)^2 + 7(-1) + 2} < 0\)
• Для \(x = 0\): \(\frac{3}{2} > 0\)
• Для \(x = 1\): \(\frac{20 - 32 + 3}{3 + 7 + 2} < 0\)
• Для \(x = 2\): \(\frac{20(4) - 32(2) + 3}{3(4) + 7(2) + 2} > 0\)

Шаг 3: Записываем область решения

Неравенство \(\frac{20x^2 - 32x + 3}{3x^2 + 7x + 2} \leq 0\) выполняется в следующих интервалах:

• \((-2, -\frac{1}{3})\) (знак отрицательный)
• \((0.1, 1.5]\) (знак ноль и отрицательный, учитывая, что в \(0.1\) числитель равен нулю)

Теперь запишем окончательный ответ с учетом 0 в числителе: \[ x \in (-2, -\frac{1}{3}) \cup [0.1, 1.5] \]

Таким образом, области решения неравенства: \[ (-2, -\frac{1}{3}) \cup [0.1, 1.5] \]