Применение производной к исследованию функции. 1) y=x в степени 2-10х+11

Давайте разберем вашу задачу, связанную с исследованием функции с использованием производной. Мы будем исследовать функцию: \[ y = x^2 - 10x + 11 \] ### Шаг 1: Найдем производную функции Для того чтобы исследовать функцию, нам нужно найти её производную. При этом мы используем правило дифференцирования степенной функции. Функция \( y \) представляет собой многочлен. Мы можем воспользоваться следующими правилами: - Производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \). - Производная константы равна 0. Применяя эти правила, мы вычислим производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(10x) + \frac{d}{dx}(11) \] Теперь находим каждую производную: 1. \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \) 2. \( \frac{d}{dx}(10x) = 10 \) 3. \( \frac{d}{dx}(11) = 0 \) Таким образом, производная функции \( y \) будет равна: \[ y' = 2x - 10 \] ### Шаг 2: Определим критические точки Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 2x - 10 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ 2x = 10 \Rightarrow x = 5 \] ### Шаг 3: Исследуем знак производной Теперь нужно проверить, как ведет себя производная на интервалах, разделенных критической точкой \( x = 5 \). Мы рассмотрим интервалы: - \( (-\infty, 5) \) - \( (5, \infty) \) 1. **На интервале \( (-\infty, 5) \)**: Пусть \( x = 0 \): \[ y'(0) = 2(0) - 10 = -10 < 0 \] Значит, функция убывает на этом интервале. 2. **На интервале \( (5, \infty) \)**: Пусть \( x = 6 \): \[ y'(6) = 2(6) - 10 = 12 - 10 = 2 > 0 \] Значит, функция возрастает на этом интервале. ### Шаг 4: Определим тип критической точки Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке \( x = 5 \), то это точка минимума. ### Шаг 5: Найдем координаты минимума Теперь находим значение функции в точке \( x = 5 \): \[ y(5) = 5^2 - 10(5) + 11 = 25 - 50 + 11 = -14 \] Итак, точка минимума — это \( (5, -14) \). ### Шаг 6: Резюме 1. Функция \( y = x^2 - 10x + 11 \) имеет минимум в точке \( (5, -14) \). 2. Функция убывает на интервале \( (-\infty, 5) \) и возрастает на интервале \( (5, \infty) \). Таким образом, мы использовали производную для исследования функции и определили её минимальные значения. Если у вас есть дополнительные вопросы или другая задача, не стесняйтесь спрашивать!