применение производной к исследованию функции. 1) y=x в степени 2-10х+11
Давайте разберем вашу задачу, связанную с исследованием функции с использованием производной. Мы будем исследовать функцию:
\[ y = x^2 - 10x + 11 \]
Шаг 1: Найдем производную функции
Для того чтобы исследовать функцию, нам нужно найти её производную. При этом мы используем правило дифференцирования степенной функции.
Функция \( y \) представляет собой многочлен. Мы можем воспользоваться следующими правилами:
- Производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
- Производная константы равна 0.
Применяя эти правила, мы вычислим производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(10x) + \frac{d}{dx}(11) \]
Теперь находим каждую производную:
- \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \)
- \( \frac{d}{dx}(10x) = 10 \)
- \( \frac{d}{dx}(11) = 0 \)
Таким образом, производная функции \( y \) будет равна:
\[ y' = 2x - 10 \]
Шаг 2: Определим критические точки
Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ 2x - 10 = 0 \]
Решаем это уравнение:
\[ 2x = 10 \Rightarrow x = 5 \]
Шаг 3: Исследуем знак производной
Теперь нужно проверить, как ведет себя производная на интервалах, разделенных критической точкой \( x = 5 \). Мы рассмотрим интервалы:
- \( (-\infty, 5) \)
- \( (5, \infty) \)
На интервале \( (-\infty, 5) \): Пусть \( x = 0 \):
\[ y'(0) = 2(0) - 10 = -10 < 0 \]
Значит, функция убывает на этом интервале.
На интервале \( (5, \infty) \): Пусть \( x = 6 \):
\[ y'(6) = 2(6) - 10 = 12 - 10 = 2 > 0 \]
Значит, функция возрастает на этом интервале.
Шаг 4: Определим тип критической точки
Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке \( x = 5 \), то это точка минимума.
Шаг 5: Найдем координаты минимума
Теперь находим значение функции в точке \( x = 5 \):
\[ y(5) = 5^2 - 10(5) + 11 = 25 - 50 + 11 = -14 \]
Итак, точка минимума — это \( (5, -14) \).
Шаг 6: Резюме
- Функция \( y = x^2 - 10x + 11 \) имеет минимум в точке \( (5, -14) \).
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, 5) \) и возрастает на интервале \( (5, \infty) \).
Таким образом, мы использовали производную для исследования функции и определили её минимальные значения. Если у вас есть дополнительные вопросы или другая задача, не стесняйтесь спрашивать!
