Докажите неравенство a(a+3)>3a-7

Давайте разберем данное неравенство шаг за шагом. Исходное неравенство: \[ a(a + 3) > 3a - 7 \] 1. **Раскроем скобки.** Для начала раскроем скобки слева: \[ a^2 + 3a > 3a - 7 \] 2. **Переносим все элементы на одну сторону.** Чтобы увидеть, что у нас получается, перенесем все выражения в одну сторону неравенства: \[ a^2 + 3a - 3a + 7 > 0 \] Упростим: \[ a^2 + 7 > 0 \] 3. **Анализируем неравенство.** Теперь у нас есть: \[ a^2 + 7 > 0 \] Важно заметить, что \(a^2\) — это квадрат числа и всегда неотрицателен (то есть \(a^2 \geq 0\) для любого действительного \(a\)). Значит, минимальное значение \(a^2\) равно 0 (когда \(a = 0\)). 4. **Добавим 7.** Если мы добавим 7 к \(a^2\), то: \[ a^2 + 7 \geq 0 + 7 = 7 \] Таким образом, выражение \(a^2 + 7\) всегда больше 0, независимо от значения \(a\). 5. **Вывод.** Мы доказали, что неравенство \(a(a+3) > 3a - 7\) верно для любого действительного числа \(a\): \[ a^2 + 7 > 0 \text{ для всех } a \in \mathbb{R} \] Таким образом, неравенство выполняется.