докажите неравенство (b-5)(b-7)<(b-6^2)

Для решения неравенства \((b-5)(b-7) < (b-6^2)\) начнем с его упрощения и дальнейшего анализа.

Шаг 1: Упрощение правой части неравенства

Сначала упрощаем правую часть:

\[ b - 6^2 = b - 36 \]

Таким образом, неравенство можно переписать в следующем виде:

\[ (b-5)(b-7) < b - 36 \]

Шаг 2: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки в левой части:

\[ (b-5)(b-7) = b^2 - 7b - 5b + 35 = b^2 - 12b + 35 \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ b^2 - 12b + 35 < b - 36 \]

Шаг 3: Приведение всех членов к одной стороне

Переносим все члены в одну сторону:

\[ b^2 - 12b + 35 - b + 36 < 0 \]

Упрощаем:

\[ b^2 - 13b + 71 < 0 \]

Теперь имеем квадратное неравенство.

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Для нахождения корней уравнения \(b^2 - 13b + 71 = 0\) используем дискриминант:

\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 71 = 169 - 284 = -115 \]

Поскольку дискриминант отрицателен, это значит, что уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, парабола, заданная квадратичной функцией \(b^2 - 13b + 71\), не пересекает ось абсцисс.

Шаг 5: Определение знака функции

Поскольку коэффициент при \(b^2\) равен 1 (положительный), парабола направлена вверх. Это означает, что значение \(b^2 - 13b + 71\) всегда положительно при любых действительных \(b\):

\[ b^2 - 13b + 71 > 0 \text{ для всех } b \in \mathbb{R} \]

Шаг 6: Заключение

Таким образом, неравенство \((b-5)(b-7) < (b-6^2)\) не выполняется ни при каком действительном \(b\). Всякий раз, когда вы подставите значение \(b\), неравенство будет ложным.

Ответ: Неравенство \((b-5)(b-7) < (b-6^2)\) не имеет решений в множестве действительных чисел.