Задачи для самостоятельного решения. 7. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6 см, а высота SO равна корень из 3 см. Найдите: a) Высоту СН треугольника…

Для решения задачи о правильной треугольной пирамиде SABC давайте сначала вспомним основные элементы и формулы, которые могут пригодиться.

Дано:

1. Длина стороны основания треугольной пирамиды \( a = 6 \, \text{см} \).
2. Высота от вершины S до основания (точка O) \( SO = \sqrt{3} \, \text{см} \).

Шаг 1: Найдём высоту \( CN \) треугольника \( ABC \)

1. Потому что \( ABC \) является равносторонним треугольником, мы можем использовать формулу для высоты равностороннего треугольника: \[ h_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \] Подставим значение \( a = 6 \): \[ h_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \, \text{см} \]

   Таким образом, высота \( CN \) равностороннего треугольника \( ABC \) равна \( 3\sqrt{3} \, \text{см} \).

Шаг 2: Найдём отрезок \( OH \) – проекцию \( SH \) на плоскость основания

1. Поскольку \( O \) является центром основания (то есть центром треугольника \( ABC \)), а \( CN \) – это высота, проведенная из вершины С на основание, мы можем найти \( OH \) как разницу высоты \( CN \) и высоты \( SO \): \[ OH = CN - SO = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \, \text{см} \]

Шаг 3: Найдём угол наклона боковой грани к основанию

1. Угол наклона боковой грани к основанию \( \alpha \) можно найти с помощью функции тангенса: \[ \tan(\alpha) = \frac{SO}{OH} \] Подставив значения: \[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \]

   Теперь найдём угол \( \alpha \): \[ \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]

Шаг 4: Найдём апофему \( SH \)

1. Апофема \( SH \) является длиной отрезка от вершины S до точки H: \[ SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} \] Подставим известные значения: \[ SH = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 12} = \sqrt{15} \, \text{см} \]

Шаг 5: Найдём площадь одной боковой грани

1. Площадь треугольника \( SABC \): \[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SH \] Подставляем значения: \[ P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{15} = 3\sqrt{15} \, \text{см}^2 \]

Шаг 6: Найдём площадь боковой поверхности

1. Так как у пирамиды 3 боковые грани: \[ S_{\text{бок}} = 3 \cdot P = 3 \cdot 3\sqrt{15} = 9\sqrt{15} \, \text{см}^2 \]

Шаг 7: Найдём площадь основания

1. Площадь основания треугольника \( ABC \): \[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Шаг 8: Найдём полную поверхность пирамиды

1. Полная площадь поверхности: \[ S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 9\sqrt{15} + 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Шаг 9: Найдём боковое ребро пирамиды

1. Боковое ребро \( SA \) можно найти по теореме Пифагора: \[ SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} \] Где \( AO \) – это расстояние от точки O до точки A, которое можно найти как: \[ AO = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \] Теперь подставляем: \[ SA = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 12} = \sqrt{15} \, \text{см} \]

Ответы:

а) Высота \( CN = 3\sqrt{3} \, \text{см} \)

б) Отрезок \( OH = 2\sqrt{3} \, \text{см} \)

в) Угол наклона боковой грани \( \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)

г) Апофема \( SH = \sqrt{15} \, \text{см} \)

д) Площадь одной боковой грани \( P = 3\sqrt{15} \, \text{см}^2 \)

е) Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = 9\sqrt{15} \, \text{см}^2 \)

ж) Площадь основания \( S_{\text{осн}} = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \)

з) Площадь полной поверхности \( S_{\text{пол}} = 9\sqrt{15} + 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \)

и) Боковое ребро пирамиды \( SA = \sqrt{15} \, \text{см} \)