9x²-24xy+16y²

Рассмотрим выражение \( 9x^2 - 24xy + 16y^2 \) и определим, можно ли его упростить или разложить на множители. 1. **Определение структуры**: Это квадратный трехчлен, который имеет форму \( ax^2 + bxy + cy^2 \). В данном случае: - \( a = 9 \) - \( b = -24 \) - \( c = 16 \) 2. **Дискриминант**: Для проверки того, можно ли разложить на множители наш трехчлен, воспользуемся дискоминтантом, который рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставим наши значения: \[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 \] 3. **Вычисление дискриминанта**: \[ D = 576 - 576 = 0 \] Дискриминант равен нулю, что означает, что квадратный трехчлен можно разложить на квадрат двчлена. 4. **Поиск корней**: Теперь мы найдем корни квадратного уравнения, используя формулу: \[ x = \frac{-b}{2a} \] Подставим значение \( b = -24 \) и \( a = 9 \): \[ x = \frac{24}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3} \] 5. **Запись двучлена**: Если у нас один корень, это значит, что трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена: \[ (px + qy)^2 \] Мы знаем, что: \[ p = \sqrt{9} = 3 \quad \text{и} \quad q = \sqrt{16} = 4 \] Подставляем \( p \) и \( q \): \[ (3x - 4y)^2 \] 6. **Финальное представление**: Теперь мы можем записать разложение: \[ 9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x - 4y)^2 \] Таким образом, выражение \( 9x^2 - 24xy + 16y^2 \) раскладывается на множители как \( (3x - 4y)^2 \). Вывод: **Ответ**: \( 9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x - 4y)^2 \)