2sin 1320°ctg(-780°)-3cos(-900°)

Чтобы понять, как решить выражение \( 2 \sin 1320^\circ \cdot \cot(-780^\circ) - 3 \cos(-900^\circ) \), следуем шаг за шагом, используя знание тригонометрических функций и их периодичности.

Шаг 1: Упростим углы

1. Угол \( 1320^\circ \):

   • Чтобы упростить угол, можно вычесть \( 360^\circ \) (полный круг) до тех пор, пока не получим угол в пределах от \( 0^\circ \) до \( 360^\circ \).
   • \( 1320^\circ - 3 \times 360^\circ = 1320^\circ - 1080^\circ = 240^\circ \).

   Следовательно, \( \sin 1320^\circ = \sin 240^\circ \).

2. Угол \( -780^\circ \):

   • Аналогично, добавим \( 2 \times 360^\circ \) (так как угол отрицательный) для упрощения:
   • \( -780^\circ + 2 \times 360^\circ = -780^\circ + 720^\circ = -60^\circ \) или \( -60^\circ + 360^\circ = 300^\circ \).

   Следовательно, \( \cot(-780^\circ) = \cot(300^\circ) \).

3. Угол \( -900^\circ \):

   • Добавляем \( 3 \times 360^\circ \):
   • \( -900^\circ + 3 \times 360^\circ = -900^\circ + 1080^\circ = 180^\circ \).

   Следовательно, \( \cos(-900^\circ) = \cos(180^\circ) \).

Шаг 2: Вычисляем тригонометрические функции

Теперь, когда мы упростили углы, мы можем вычислить значения:

1. \( \sin 240^\circ \):

   • Углу \( 240^\circ \) соответствует \( 180^\circ + 60^\circ \), поэтому: \[ \sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

2. \( \cot 300^\circ \):

   • Углу \( 300^\circ \) соответствует \( 360^\circ - 60^\circ \), следовательно: \[ \cot 300^\circ = \frac{1}{\tan(300^\circ)} = \frac{1}{-\tan(60^\circ)} = -\frac{1}{\sqrt{3}}. \]

3. \( \cos 180^\circ \):

   • Это стандартное значение: \[ \cos 180^\circ = -1. \]

Шаг 3: Подставляем значения в выражение

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

\[ 2 \sin 1320^\circ \cdot \cot(-780^\circ) - 3 \cos(-900^\circ) = 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - 3 \cdot (-1). \]

Шаг 4: Упрощаем

1. Первая часть: \[ 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1. \]

2. Вторая часть: \[ -3 \cdot (-1) = 3. \]

Шаг 5: Итоговое значение

Теперь сложим обе части: \[ 1 + 3 = 4. \]

Ответ

Итак, итоговое значение выражения \( 2 \sin 1320^\circ \cdot \cot(-780^\circ) - 3 \cos(-900^\circ) = 4 \).