Отобрать корни на отрезке [5π2; 4π] из серий решений x=±π6+2πk, k∈Z .

Чтобы решить задачу, нам нужно отобрать корни из серии решений \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число, в заданном отрезке \([5\pi/2; 4\pi]\).

Первым шагом, давайте найдем границы нашего отрезка в числовом виде:

• \( \frac{5\pi}{2} \) — это число, примерно равное \( 7.85 \) (приближенно).
• \( 4\pi \) — это число, примерно равное \( 12.57 \).

Теперь нужно подставить значения для \( k \), чтобы найти все возможные \( x \) в этом диапазоне. Мы будем подставлять разные целые значения \( k \) и проверять, попадают ли полученные \( x \) в указанный отрезок.

Подбор значений для \( k \)

1. Для \( k = 0 \):

   • \( x = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 \) (не подходит)
   • \( x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.52 \) (не подходит)

2. Для \( k = 1 \):

   • \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \approx 0.52 + 6.28 \approx 6.80 \) (не подходит)
   • \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi \approx -0.52 + 6.28 \approx 5.76 \) (подходит, так как \( 5.76 \) в интервале)

3. Для \( k = 2 \):

   • \( x = \frac{\pi}{6} + 4\pi \approx 0.52 + 12.56 \approx 13.08 \) (не подходит)
   • \( x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi \approx -0.52 + 12.56 \approx 12.04 \) (не подходит)

4. Для \( k = -1 \):

   • \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi \approx 0.52 - 6.28 \approx -5.76 \) (не подходит)
   • \( x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi \approx -0.52 - 6.28 \approx -6.80 \) (не подходит)

5. Для \( k = -2 \):

   • \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi \approx 0.52 - 12.56 \approx -12.04 \) (не подходит)
   • \( x = -\frac{\pi}{6} - 4\pi \approx -0.52 - 12.56 \approx -13.08 \) (не подходит)

Итоги

Мы получили только одно значение \( x \), которое попадает в указанный интервал:

• Подходящее значение: \( x \approx 5.76 \) (от \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi \))

Таким образом, корень в отрезке \([5\pi/2; 4\pi]\) из решения \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) — это \( x \approx 5.76 \).