Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам нужно знать его длину, ширину и высоту. В данной задаче нам известны длина и ширина сторон основания (4 и 3) и длина диагонали (13).
Объем ( V ) прямоугольного параллелепипеда можно вычислить по формуле:
[
V = a \cdot b \cdot h
]
где:
- ( a ) и ( b ) — стороны основания (в нашем случае 4 и 3),
- ( h ) — высота параллелепипеда.
Шаг 1: Найти высоту ( h )
Мы знаем, что диагональ прямоугольного параллелепипеда ( d ) связана с его длиной, шириной и высотой по формуле:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}
]
Подставим известные значения:
[
13 = \sqrt{4^2 + 3^2 + h^2}
]
Шаг 2: Вычислить ( 4^2 ) и ( 3^2 )
Сначала найдём ( 4^2 ) и ( 3^2 ):
[
4^2 = 16
]
[
3^2 = 9
]
Теперь сложим полученные значения:
[
4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
]
Шаг 3: Подставить в формулу
Теперь мы можем подставить это значение обратно в формулу:
[
13 = \sqrt{25 + h^2}
]
Шаг 4: Избавиться от квадратного корня
Квадратируем обе стороны уравнения:
[
13^2 = 25 + h^2
]
[
169 = 25 + h^2
]
Шаг 5: Найти ( h^2 )
Вычтем 25 из обеих сторон:
[
169 - 25 = h^2
]
[
144 = h^2
]
Шаг 6: Найти ( h )
Теперь найдём ( h ) путем извлечения квадратного корня:
[
h = \sqrt{144} = 12
]
Теперь мы имеем все необходимые значения для нахождения объема.
Шаг 7: Вычислить объем ( V )
Теперь подставим наши значения в формулу для объема:
[
V = a \cdot b \cdot h = 4 \cdot 3 \cdot 12
]
Теперь умножим:
[
4 \cdot 3 = 12
]
[
12 \cdot 12 = 144
]
Ответ
Объем прямоугольного параллелепипеда составляет ( 144 ) кубических единиц.
