Решм подробно

Давайте разберем каждую из этих задач по шагам. ### 4) \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 - x^3 + 2x}{x^4 - 8x^3 + 1}\) **Шаг 1:** Находим старшую степень в числителе и знаменателе. - В числителе: \(5x^4\) - В знаменателе: \(x^4\) **Шаг 2:** Делим числитель и знаменатель на \(x^4\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^4}{x^4} - \frac{x^3}{x^4} + \frac{2x}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4} - \frac{8x^3}{x^4} + \frac{1}{x^4}} \] \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^4}} \] **Шаг 3:** Предел каждого отдельного члена при \(x \to \infty\): - \(\frac{1}{x} \to 0\) - \(\frac{2}{x^3} \to 0\) - \(\frac{8}{x} \to 0\) - \(\frac{1}{x^4} \to 0\) Таким образом: \[ = \frac{5 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = 5 \] **Ответ:** \(5\) --- ### 5) \(\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x}\) Это предел экспоненциального выражения, часто используемого для приближенного вычисления экспоненты. **Шаг 1:** Представим предел в таком виде, чтобы воспользоваться формулой \(e\): \[ \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x} = \lim_{x \to -\infty} \left(\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-\frac{x}{-3} \cdot -3}\right) \] **Шаг 2:** Пусть \(y = -x\), тогда при \(x \to -\infty\), \(y \to \infty\). Преобразуем выражение: \[ \lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{3}{y}\right)^{3y} \] **Шаг 3:** Переход к экспоненте: Используем известный результат \(\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}\). Преобразуем: \[ = e^{-3 \cdot 1} = e^{-3} \] **Ответ:** \(e^{-3}\) --- Таким образом, решения содержат полные объяснения с шагами и ответами каждого из пределов.