решм подробно
Давайте разберем каждую из этих задач по шагам.
4) \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 - x^3 + 2x}{x^4 - 8x^3 + 1}\)
Шаг 1: Находим старшую степень в числителе и знаменателе.
- В числителе: \(5x^4\)
- В знаменателе: \(x^4\)
Шаг 2: Делим числитель и знаменатель на \(x^4\):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^4}{x^4} - \frac{x^3}{x^4} + \frac{2x}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4} - \frac{8x^3}{x^4} + \frac{1}{x^4}} \]
\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^4}} \]
Шаг 3: Предел каждого отдельного члена при \(x \to \infty\):
- \(\frac{1}{x} \to 0\)
- \(\frac{2}{x^3} \to 0\)
- \(\frac{8}{x} \to 0\)
- \(\frac{1}{x^4} \to 0\)
Таким образом:
\[ = \frac{5 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = 5 \]
Ответ: \(5\)
5) \(\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x}\)
Это предел экспоненциального выражения, часто используемого для приближенного вычисления экспоненты.
Шаг 1: Представим предел в таком виде, чтобы воспользоваться формулой \(e\):
\[ \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-x} = \lim_{x \to -\infty} \left(\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{-\frac{x}{-3} \cdot -3}\right) \]
Шаг 2: Пусть \(y = -x\), тогда при \(x \to -\infty\), \(y \to \infty\).
Преобразуем выражение:
\[ \lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{3}{y}\right)^{3y} \]
Шаг 3: Переход к экспоненте:
Используем известный результат \(\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}\).
Преобразуем:
\[ = e^{-3 \cdot 1} = e^{-3} \]
Ответ: \(e^{-3}\)
Таким образом, решения содержат полные объяснения с шагами и ответами каждого из пределов.
