В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, причем CM = MB, а угол CAB в 3 раза больше угла B. Найдите угол CMB. Ответ напишите в градусах.
Решим задачу о треугольнике ABC, где CM — биссектриса, CM = MB, и угол CAB в 3 раза больше угла B. Нам нужно найти угол CMB.
1. **Обозначим углы.**
Пусть угол B = x. Тогда угол CAB = 3x.
В треугольнике сумма углов равна 180°. Следовательно, угол C:
\[
C = 180° - (A + B) = 180° - (3x + x) = 180° - 4x.
\]
2. **Биссектрисы и равные отрезки.**
Мы знаем, что CM — биссектриса угла C, поэтому угол ACM равен углу BCM. Обозначим их как угол ACM = угол BCM = y. Угол CMB, соответственно, равен 180° - y, так как CM — bisectrix.
У нас уже есть:
\[
C = 180° - 4x.
\]
Значит, по свойству биссектрисы:
\[
2y = C = 180° - 4x.
\]
Следовательно,
\[
y = \frac{180° - 4x}{2} = 90° - 2x.
\]
3. **Сложим все углы.**
Итак, мы можем выразить угол CMB как:
\[
угол \ CMB = 180° - y = 180° - (90° - 2x) = 90° + 2x.
\]
4. **Суммируем углы в треугольнике.**
Теперь воспользуемся тем, что сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:
\[
3x + x + (180° - 4x) = 180°.
\]
Упрощаем:
\[
4x + (180° - 4x) = 180° \Rightarrow 180° = 180°,
\]
что всегда верно, значит, у нас нет здесь ограничения.
5. **Но мы помним, что CM = MB.**
Это означает, что треугольник CMB является равнобедренным с основанием CB. Следовательно, углы при основании равны:
\[
\angle CMB = \angle CMB = 90° + 2x.
\]
6. **Используем свойства биссектрисы.**
Теперь давайте найдем x. У нас идет соотношение между углами:
\[
\triangle ABC: A = 3x, B = x, C = 180° - 4x.
\]
Поскольку угол CMB — это важный угол, давайте найдём его конечное значение.
7. **При этом определим x и найдем угол CMB.**
Рассмотрим, что x и поэтому угол у нас обращается в:
- 3x + x < 180° ⇒ 4x < 180° ⇒ x < 45°.
- Если x = 30°, тогда угол CMB = 90° + 2 * 30° = 150°.
Однако при равномерном подходе смотрим, что для угла CMB он остается ситуацией с равновесием при 30°, что у нас будет определять:
\[
\boxed{150}
\]
Таким образом, угол CMB в данной задаче составляет 150°.
