На двух параллельных прямых взяли по точке. Докажите, что отрезок между ними не меньше расстояния между данными прямыми.

Рассмотрим две параллельные прямые \(a\) и \(b\), расстояние между которыми обозначим как \(d\). Пусть \(A\) и \(B\) — точки, взятые на прямых \(a\) и \(b\) соответственно. Поскольку прямые \(a\) и \(b\) параллельны, то любое перпендикулярное расстояние между ними будет равным \(d\). Обозначим \(P\) — проекцию точки \(A\) на прямую \(b\), тогда отрезок \(AB\) можно разложить на две части: отрезок \(AP\) и отрезок \(PB\). Поскольку \(AP\) является перпендикуляром к прямой \(b\), то его длина не может быть меньше, чем расстояние \(d\) между прямыми. Таким образом, если \(h\) — это длина отрезка \(AB\), то по теореме о прямоугольном треугольнике: 1. Длина отрезка \(AP\) равна расстоянию между прямыми, а именно \(d\). 2. Длина отрезка \(PB\) — это горизонтальная проекция, которая может быть любой, но не отрицательной. Следовательно, отрезок \(AB\) (гипотенуза) всегда будет больше или равен \(d\): \[ AB \geq AP = d \] Таким образом, мы доказали, что длина отрезка между точками на параллельных прямых всегда не меньше расстояния между самими прямыми.