В равнобедренном треугольнике основание АС=10см, а при основании угол А=30°. Найти радиусы R_1 описанной около треугольника и R_2 вписанной в треугольник окружностей.

Для решения задачи о нахождении радиусов описанной и вписанной окружностей (R₁ и R₂) в равнобедренном треугольнике с основанием AC = 10 см и углом A = 30°, следуем следующим шагам.

Шаг 1: Определение свойств треугольника

Равнобедренный треугольник имеет два равных боковых стороны (AB = BC). Обозначим боковые стороны как \( AB = BC = a \).

Угол при основании А равен 30°, следовательно, угол B и угол C равны. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, можно записать:

\[ \angle B + \angle C = 180° - \angle A = 180° - 30° = 150°. \]

Поскольку углы B и C равны, каждый из них составляет 75°:

\[ \angle B = \angle C = 75°. \]

Шаг 2: Определение длины боковых сторон

Используем закон синусов. Сначала найдем длину боковых сторон:

\[ \frac{a}{\sin(30°)} = \frac{AC}{\sin(75°)}. \]

Зная, что \( AC = 10 \, \text{см} \) и \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \), подставим данные:

\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\sin(75°)}. \]

Перепишем уравнение:

\[ a = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin(75°)}. \]

Приблизительно, \( \sin(75°) \approx 0.9659 \):

\[ a = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0.9659} \approx 5.18 \, \text{см}. \]

Шаг 3: Нахождение радиусов описанной и вписанной окружностей

Теперь можем найти радиусы.

Радиус описанной окружности \( R_1 \) равен:

\[ R_1 = \frac{abc}{4S}, \]

где \( S \) — площадь треугольника, \( a \), \( b \), \( c \) — длины сторон. Для равнобедренного треугольника:

• \( a = 5.18 \, \text{см} \) (длина боковой стороны),
• \( b = 5.18 \, \text{см} \),
• \( c = 10 \, \text{см} \).

Площадь \( S \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot высота. \]

Находим высоту. В равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам:

\[ h = AB \cdot \sin(30°) = 5.18 \cdot \frac{1}{2} \approx 2.59 \, \text{см}. \]

Следовательно, площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2.59 \approx 12.95 \, \text{см}^2. \]

Теперь подставим в формулу для радиуса \( R_1 \):

\[ R_1 = \frac{5.18 \cdot 5.18 \cdot 10}{4 \cdot 12.95} \approx \frac{268.32}{51.8} \approx 5.17 \, \text{см}. \]

Радиус вписанной окружности \( R_2 \) равен:

\[ R_2 = \frac{S}{p}, \]

где \( p \) — полупериметр:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5.18 + 5.18 + 10}{2} = 10.18 \, \text{см}. \]

Таким образом, \( R_2 \):

\[ R_2 = \frac{12.95}{10.18} \approx 1.27 \, \text{см}. \]

Ответ

• Радиус описанной окружности \( R_1 \approx 5.17 \, \text{см} \).
• Радиус вписанной окружности \( R_2 \approx 1.27 \, \text{см} \).

Проверьте, все ли шаги понятны. Если что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!