Кубик брошен 6 раз.Каково вероятность что меньше трех очков выпало ровно 4 раза
Чтобы решить задачу о вероятности, давайте начнем с понимания, что такое вероятность.
Общая вероятность — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. В данном случае мы будем работать с игрой на кубике.
Шаг 1: Определение событий
- Кубик бросается 6 раз.
- Мы ищем вероятность того, что "меньше трех очков" (то есть 1 или 2) выпало ровно 4 раза.
Шаг 2: Определение благоприятных исходов
На кубике есть 6 сторон (1, 2, 3, 4, 5, 6).
"Меньше трех очков" означает, что мы считаем только 1 и 2. Это 2 благоприятных исхода.
Вероятность того, что в одном броске кубика выпадет меньше трех очков (1 или 2) равна:
\[ P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Вероятность того, что в одном броске кубика выпадет 3 или больше (3, 4, 5, 6) равна:
\[ P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Шаг 3: Использование биномиального распределения
Поскольку у нас есть 6 бросков, и нас интересует, каковы шансы на то, что "меньше трех" выпадет ровно 4 раза, можем использовать биномиальную формулу:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( n \) — общее число испытаний (бросков кубика) = 6,
- \( k \) — число успешных испытаний (выпало "меньше трех") = 4,
- \( p \) — вероятность успеха ("меньше трех") = \( \frac{1}{3} \),
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Шаг 4: Подставляем значения
Вычислим биномиальный коэффициент:
\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]
Подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 4) = 15 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{6-4} \]
\[ P(X = 4) = 15 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
Шаг 5: Расчеты
Вычисляем \( \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81} \).
Вычисляем \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \).
Теперь подставим в формулу:
\[ P(X = 4) = 15 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{4}{9} \]
\[ = 15 \cdot \frac{4}{729} = \frac{60}{729} \]
Шаг 6: Ответ
Итак, вероятность того, что меньше трех очков выпало ровно 4 раза при 6 бросках кубика будет равна:
\[ P(X = 4) = \frac{60}{729} \approx 0.0823 \text{ или } 8.23 \% \]
Таким образом, итоговая вероятность составляет примерно 8.23%.
