Кубик брошен 6 раз.Каково вероятность что меньше трех очков выпало ровно 4 раза

Чтобы решить задачу о вероятности, давайте начнем с понимания, что такое вероятность. **Общая вероятность** — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. В данном случае мы будем работать с игрой на кубике. ### Шаг 1: Определение событий 1. **Кубик бросается 6 раз.** 2. Мы ищем вероятность того, что "меньше трех очков" (то есть 1 или 2) выпало *ровно 4 раза*. ### Шаг 2: Определение благоприятных исходов - На кубике есть 6 сторон (1, 2, 3, 4, 5, 6). - "Меньше трех очков" означает, что мы считаем только 1 и 2. Это 2 благоприятных исхода. - Вероятность того, что в одном броске кубика выпадет меньше трех очков (1 или 2) равна: \[ P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] - Вероятность того, что в одном броске кубика выпадет 3 или больше (3, 4, 5, 6) равна: \[ P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] ### Шаг 3: Использование биномиального распределения Поскольку у нас есть 6 бросков, и нас интересует, каковы шансы на то, что "меньше трех" выпадет ровно 4 раза, можем использовать **биномиальную формулу**: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( n \) — общее число испытаний (бросков кубика) = 6, - \( k \) — число успешных испытаний (выпало "меньше трех") = 4, - \( p \) — вероятность успеха ("меньше трех") = \( \frac{1}{3} \), - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \). ### Шаг 4: Подставляем значения 1. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(6, 4) = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \] 2. Подставим все значения в формулу: \[ P(X = 4) = 15 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{6-4} \] \[ P(X = 4) = 15 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] ### Шаг 5: Расчеты 1. Вычисляем \( \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81} \). 2. Вычисляем \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \). 3. Теперь подставим в формулу: \[ P(X = 4) = 15 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{4}{9} \] \[ = 15 \cdot \frac{4}{729} = \frac{60}{729} \] ### Шаг 6: Ответ Итак, вероятность того, что меньше трех очков выпало ровно 4 раза при 6 бросках кубика будет равна: \[ P(X = 4) = \frac{60}{729} \approx 0.0823 \text{ или } 8.23 \% \] Таким образом, итоговая вероятность составляет примерно 8.23%.