В учебной группе 34 участника, 19 из которых — мужчины. Определи, сколькими вариантами можно выделить мини-группу из четырёх участников, двое из которых будут мужчинами.

Для решения задачи мы воспользуемся комбинаторикой, в частности, формулами для вычисления сочетаний. Нам нужно выделить мини-группу из четырёх участников, где два участника — мужчины, а два — женщины.

Шаг 1: Определим количество мужчин и женщин.

• Всего участников в группе: 34
• Мужчин: 19
• Женщин = 34 - 19 = 15

Шаг 2: Определим, сколько мужчин и женщин нужно выбрать.

Мы должны выбрать:

• 2 мужчины из 19
• 2 женщины из 15

Шаг 3: Находим количество сочетаний.

Формула для вычисления сочетаний выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

где \( n \) — общее количество элементов, \( k \) — количество выбираемых элементов, а \( ! \) — факториал.

1. Сначала найдем количество способов выбрать 2 мужчин из 19:

\[ C(19, 2) = \frac{19!}{2!(19 - 2)!} = \frac{19 \times 18}{2 \times 1} = \frac{342}{2} = 171 \]

2. Теперь найдем количество способов выбрать 2 женщин из 15:

\[ C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15 - 2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = \frac{210}{2} = 105 \]

Шаг 4: Вычисляем общее количество способов выбрать мини-группу.

Теперь, чтобы получить общее количество способов сформировать мини-группу из 4 участников (2 мужчины и 2 женщины), перемножим полученные значения:

\[ C(19, 2) \times C(15, 2) = 171 \times 105 \]

Вычисляем окончательное значение:

\[ 171 \times 105 = 17955 \]

Ответ:

Таким образом, количество вариантов, которыми можно выделить мини-группу из четырёх участников, двое из которых мужчины, составляет 17955.