.
Рассмотрим данное неравенство:
\[ \frac{-17}{3x^2 - 7x + 2} < 0 \]
Чтобы решить это неравенство, нужно определить, когда дробь будет меньше нуля. Для этого необходимо понять, когда знаменатель меняет знак (так как числитель \(-17\) всегда отрицателен).
Шаг 1: Найдем нули знаменателя
Решим квадратное уравнение:
\[ 3x^2 - 7x + 2 = 0 \]
Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Подставим значения:
- Найдем дискриминант (\(D\)):
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \]
- Найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6} \]
Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{12}{6} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Шаг 2: Исследуем знаки
Рассмотрим промежутки:
- \(x < \frac{1}{3}\)
- \(\frac{1}{3} < x < 2\)
- \(x > 2\)
Знак выражения \((3x^2 - 7x + 2)\) изменяется при переходе через корни (\(x = \frac{1}{3}\) и \(x = 2\)).
Шаг 3: Определим знак на промежутках
Для \(x < \frac{1}{3}\), пусть \(x = 0\): \[3(0)^2 - 7(0) + 2 = 2 > 0\]
Для \(\frac{1}{3} < x < 2\), пусть \(x = 1\): \[3(1)^2 - 7(1) + 2 = 3 - 7 + 2 = -2 < 0\]
Для \(x > 2\), пусть \(x = 3\): \[3(3)^2 - 7(3) + 2 = 27 - 21 + 2 = 8 > 0\]
Шаг 4: Решение неравенства
Поскольку числитель \(-17\) отрицателен, дробь будет меньше нуля, когда знаменатель положителен. Значит, интересует промежуток, где \(3x^2 - 7x + 2 < 0\).
Таким образом, решением неравенства будет промежуток:
\[ x \in \left(\frac{1}{3}, 2\right) \]
Ответ: \(x \in \left(\frac{1}{3}, 2\right)\)
