.

Рассмотрим данное неравенство: \[ \frac{-17}{3x^2 - 7x + 2} < 0 \] Чтобы решить это неравенство, нужно определить, когда дробь будет меньше нуля. Для этого необходимо понять, когда знаменатель меняет знак (так как числитель \(-17\) всегда отрицателен). **Шаг 1: Найдем нули знаменателя** Решим квадратное уравнение: \[ 3x^2 - 7x + 2 = 0 \] Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\). Подставим значения: 1. Найдем дискриминант (\(D\)): \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \] 2. Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{12}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] **Шаг 2: Исследуем знаки** Рассмотрим промежутки: 1. \(x < \frac{1}{3}\) 2. \(\frac{1}{3} < x < 2\) 3. \(x > 2\) Знак выражения \((3x^2 - 7x + 2)\) изменяется при переходе через корни (\(x = \frac{1}{3}\) и \(x = 2\)). **Шаг 3: Определим знак на промежутках** - Для \(x < \frac{1}{3}\), пусть \(x = 0\): \[3(0)^2 - 7(0) + 2 = 2 > 0\] - Для \(\frac{1}{3} < x < 2\), пусть \(x = 1\): \[3(1)^2 - 7(1) + 2 = 3 - 7 + 2 = -2 < 0\] - Для \(x > 2\), пусть \(x = 3\): \[3(3)^2 - 7(3) + 2 = 27 - 21 + 2 = 8 > 0\] **Шаг 4: Решение неравенства** Поскольку числитель \(-17\) отрицателен, дробь будет меньше нуля, когда знаменатель положителен. Значит, интересует промежуток, где \(3x^2 - 7x + 2 < 0\). Таким образом, решением неравенства будет промежуток: \[ x \in \left(\frac{1}{3}, 2\right) \] Ответ: \(x \in \left(\frac{1}{3}, 2\right)\)