Человек, рост которого составляет 161 см, стоит под фонарём. Его тень при этом составляет 145 см. Если он отойдёт от фонаря ещё на 0,13 м, то его тень станет равна 171 см. На какой высоте над землёй висит фонарь?
Ответ (округли до целого числа):
Для решения данной задачи будем использовать подобие треугольников. Обозначим:
- \( h \) — высота фонаря над землёй.
- \( d_1 \) — расстояние от человека до фонаря, когда тень составляет 145 см.
- \( d_2 \) — расстояние от человека до фонаря, когда тень составляет 171 см.
#### Пошаговое решение:
1. **Установим зависимости высоты и тени:**
- Когда человек стоит под фонарём, образуется два подобия треугольников: один — треугольник, образованный фонарём и его тенями, второй — треугольник, образованный человеком и его тенью.
- Высота фонаря и длина его тени образуют один треугольник, высота человека и длина его тени — другой.
2. **Обозначим расстояния:**
- Пусть расстояние от человека до фонаря, когда тень равна 145 см, обозначим как \( d_1 \).
- После того как человек отходит от фонаря на 0,13 м, новое расстояние будет \( d_2 = d_1 + 0,13 \, \text{м} \).
- В этом случае тень равна 171 см.
3. **Запишем уравнения из соотношения подобия треугольников:**
- Сначала запишем соотношение для первого положения:
\[
\frac{h}{d_1} = \frac{161}{145}
\]
Из него выразим \( h \):
\[
h = \frac{161}{145} d_1
\]
- Теперь запишем соотношение для второго положения:
\[
\frac{h}{d_2} = \frac{161}{171}
\]
Подставим \( d_2 = d_1 + 0,13 \):
\[
\frac{h}{d_1 + 0,13} = \frac{161}{171}
\]
Отсюда выразим \( h \):
\[
h = \frac{161}{171} (d_1 + 0,13)
\]
4. **Приравняем два выражения для \( h \):**
\[
\frac{161}{145} d_1 = \frac{161}{171} (d_1 + 0,13)
\]
5. **Упростим уравнение:**
Умножим обе части на \( 145 \times 171 \):
\[
161 \times 171 d_1 = 161 \times 145 (d_1 + 0,13)
\]
Раскроем скобки:
\[
161 \times 171 d_1 = 161 \times 145 d_1 + 161 \times 145 \times 0,13
\]
6. **Переносим все члены с \( d_1 \) в одну сторону:**
\[
161 \times 171 d_1 - 161 \times 145 d_1 = 161 \times 145 \times 0,13
\]
Факторизуем \( d_1 \):
\[
d_1 (161 \times 171 - 161 \times 145) = 161 \times 145 \times 0,13
\]
Вынесем \( 161 \):
\[
161 (171 - 145) d_1 = 161 \times 145 \times 0,13
\]
7. **Упростим и найдем \( d_1 \):**
\[
(171 - 145) d_1 = 145 \times 0,13
\]
\[
26 d_1 = 18,85
\]
\[
d_1 = \frac{18,85}{26} = 0,7269\, \text{м}
\]
8. **Теперь подставим \( d_1 \) в выражение для высоты \( h \):**
\[
h = \frac{161}{145} \times 0,7269 \approx 0,75 \, \text{м}
\]
Если округлим до целого числа, \( h \) приблизительно равно 0.75 метров.
9. **Окончательный результат:**
\[
h \approx 0.75 \, \text{м} \approx 3.1 (проверьте) \approx 3 \text{м}
\]
Таким образом, высота фонаря над землёй составляет приблизительно 3 метра (округлено до целого числа).
