Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим скорость второго велосипедиста как ( v ) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет ( v - 7 ) км/ч, так как он ехал на 7 км/ч медленнее.
Шаг 1: Определим время, за которое каждый из велосипедистов преодолел 42 километра.
Для второго велосипедиста время в пути можно найти по формуле:
[
t_2 = \frac{S}{v} = \frac{42}{v}
]
Для первого велосипедиста время в пути будет:
[
t_1 = \frac{S}{v - 7} = \frac{42}{v - 7}
]
Шаг 2: Используем информацию о том, что первый велосипедист пришел на 1 час позже второго.
Согласно условию, время, которое затратил первый велосипедист, на 1 час больше, чем время второго:
[
t_1 = t_2 + 1
]
Подставляем выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{42}{v - 7} = \frac{42}{v} + 1
]
Шаг 3: Упростим уравнение.
Умножим все части уравнения на ( v(v - 7) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
42v = 42(v - 7) + v(v - 7)
]
Раскроем скобки:
[
42v = 42v - 294 + v^2 - 7v
]
Переносим все в одну сторону:
[
0 = v^2 - 7v - 294
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Решая это уравнение, можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = -7 ), ( c = -294 ).
Подставим значения:
[
v = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-294)}}{2 \cdot 1}
]
Находим дискриминант:
[
D = 49 + 1176 = 1225
]
Теперь находим корни:
[
v = \frac{7 \pm 35}{2}
]
Теперь решим для обоих случаев:
- ( v = \frac{42}{2} = 21 ) км/ч
- ( v = \frac{-28}{2} = -14 ) (неподходящий вариант, скорость не может быть отрицательной).
Следовательно, скорость второго велосипедиста равна ( v = 21 ) км/ч.
Шаг 5: Найдем скорость первого велосипедиста.
Скорость первого велосипедиста:
[
v - 7 = 21 - 7 = 14 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Таким образом, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, составляет 14 км/ч.
