Для решения задачи давайте используем формулу условной вероятности и формулу Байеса. Нам нужно найти вероятность того, что бракованный аккумулятор изготовлен на заводе в городе Ю, при условии, что аккумулятор бракованный.
Обозначим события:
- ( A ): аккумулятор изготовлен на заводе в городе Ю.
- ( B ): аккумулятор бракованный.
Мы знаем следующие данные:
- ( P(A) = 0.2 ) - вероятность того, что аккумулятор изготовлен в Ю.
- ( P(A') = 0.8 ) - вероятность того, что аккумулятор изготовлен в Д (где ( A' ) - событие, что аккумулятор изготовлен в городе Д).
- ( P(B|A) = 0.075 ) - вероятность того, что аккумулятор бракованный, если он изготовлен в Ю.
- ( P(B|A') = 0.025 ) - вероятность того, что аккумулятор бракованный, если он изготовлен в Д.
Теперь, чтобы найти ( P(A|B) ) — вероятность того, что аккумулятор изготовлен в Ю при условии, что он бракованный, мы будем использовать формулу Байеса:
[
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
]
Сначала найдем ( P(B) ) — общую вероятность того, что аккумулятор бракованный. Мы можем найти ( P(B) ) с помощью формулы полной вероятности:
[
P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|A') \cdot P(A')
]
Подставим известные значения:
[
P(B) = 0.075 \cdot 0.2 + 0.025 \cdot 0.8
]
Вычислим это:
[
P(B) = 0.015 + 0.02 = 0.035
]
Теперь подставим ( P(B) ) обратно в формулу Байеса:
[
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0.075 \cdot 0.2}{0.035}
]
Вычислим числитель:
[
0.075 \cdot 0.2 = 0.015
]
Теперь подставим в формулу:
[
P(A|B) = \frac{0.015}{0.035} \approx 0.42857
]
Теперь округлим до тысячных:
[
P(A|B) \approx 0.429
]
Таким образом, вероятность того, что бракованный аккумулятор был изготовлен на заводе в Ю, составляет примерно 0.429.
