Заполни пропуски: p3 = 0,00032; q3= 0,512; C5 8 Вероятность события «получить 5 успехов в 8 испытаниях» равна (При необходимости округляй до десятитысячных.)
Для решения этой задачи используем формулу для вычисления вероятности получения определенного количества успехов в серии независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха. В данной ситуации мы используем биномиальное распределение.
Дано:
- Вероятность успеха в одном испытании \( p_3 = 0.00032 \)
- Вероятность неуспеха \( q_3 = 1 - p_3 = 1 - 0.00032 = 0.99968 \)
- Количество испытаний \( n = 8 \)
- Количество успехов \( k = 5 \)
Формула биномиального распределения:
Вероятность получить \( k \) успехов в \( n \) испытаниях равна:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — число сочетаний, которое можно вычислить по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Шаг 1: Найти число сочетаний \( C(8, 5) \)
Используя формулу для числа сочетаний:
\[ C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \]
Вычислим факториалы:
- \( 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! \) (можно сократить \( 5! \))
- \( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \)
Теперь подставим:
\[ C(8, 5) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Шаг 2: Подставить все значения в формулу
Теперь можем найти вероятность \( P(X = 5) \):
\[ P(X = 5) = C(8, 5) \cdot p_3^5 \cdot q_3^{8-5} \]
Подставим известные значения:
\[ P(X = 5) = 56 \cdot (0.00032)^5 \cdot (0.99968)^3 \]
Шаг 3: Вычислить \( p_3^5 \) и \( q_3^3 \)
Сначала посчитаем \( (0.00032)^5 \):
\[ (0.00032)^5 = 0.00032 \cdot 0.00032 \cdot 0.00032 \cdot 0.00032 \cdot 0.00032 \approx 1.048576 \times 10^{-15} \]
Теперь \( (0.99968)^3 \):
\[ (0.99968)^3 \approx 0.99904 \]
Шаг 4: Подставляем и считаем
Теперь подставим результаты:
\[ P(X = 5) = 56 \cdot 1.048576 \times 10^{-15} \cdot 0.99904 \]
Перемножим числовые значения:
\[ P(X = 5) \approx 56 \cdot 1.048576 \times 10^{-15} \cdot 0.99904 \approx 5.584 \times 10^{-14} \]
Окончательный ответ:
Вероятность события «получить 5 успехов в 8 испытаниях» равна около \( 0.00000000005584 \), что можно округлить до десяти тысячных (при желании):
\[ P(X = 5) \approx 0.0000 \]
Таким образом, вероятность очень мала, что соответствует ожидаемому результату, учитывая низкую вероятность успеха в один конкретный момент испытания.
