Для решения этой задачи используем формулу для вычисления вероятности получения определенного количества успехов в серии независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха. В данной ситуации мы используем биномиальное распределение.
Дано:
- Вероятность успеха в одном испытании ( p_3 = 0.00032 )
- Вероятность неуспеха ( q_3 = 1 - p_3 = 1 - 0.00032 = 0.99968 )
- Количество испытаний ( n = 8 )
- Количество успехов ( k = 5 )
Формула биномиального распределения:
Вероятность получить ( k ) успехов в ( n ) испытаниях равна:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — число сочетаний, которое можно вычислить по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
]
Шаг 1: Найти число сочетаний ( C(8, 5) )
Используя формулу для числа сочетаний:
[
C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!}
]
Вычислим факториалы:
- ( 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! ) (можно сократить ( 5! ))
- ( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 )
Теперь подставим:
[
C(8, 5) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56
]
Шаг 2: Подставить все значения в формулу
Теперь можем найти вероятность ( P(X = 5) ):
[
P(X = 5) = C(8, 5) \cdot p_3^5 \cdot q_3^{8-5}
]
Подставим известные значения:
[
P(X = 5) = 56 \cdot (0.00032)^5 \cdot (0.99968)^3
]
Шаг 3: Вычислить ( p_3^5 ) и ( q_3^3 )
Сначала посчитаем ( (0.00032)^5 ):
[
(0.00032)^5 = 0.00032 \cdot 0.00032 \cdot 0.00032 \cdot 0.00032 \cdot 0.00032 \approx 1.048576 \times 10^{-15}
]
Теперь ( (0.99968)^3 ):
[
(0.99968)^3 \approx 0.99904
]
Шаг 4: Подставляем и считаем
Теперь подставим результаты:
[
P(X = 5) = 56 \cdot 1.048576 \times 10^{-15} \cdot 0.99904
]
Перемножим числовые значения:
[
P(X = 5) \approx 56 \cdot 1.048576 \times 10^{-15} \cdot 0.99904 \approx 5.584 \times 10^{-14}
]
Окончательный ответ:
Вероятность события «получить 5 успехов в 8 испытаниях» равна около ( 0.00000000005584 ), что можно округлить до десяти тысячных (при желании):
[
P(X = 5) \approx 0.0000
]
Таким образом, вероятность очень мала, что соответствует ожидаемому результату, учитывая низкую вероятность успеха в один конкретный момент испытания.
