Упростите выражение: a) 4/5 • √75 + √2(√8 – √24); б) (√8 – √5)2.

Давайте упростим оба выражения по шагам.

a) \( \frac{4}{5} \cdot \sqrt{75} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{24}) \)

Шаг 1: Упростим каждый корень в выражении.

• \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \)

Шаг 2: Подставим упрощенные корни в выражение.

Теперь у нас есть: \[ \frac{4}{5} \cdot 5\sqrt{3} + \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}) \] Упрощаем первое произведение: \[ \frac{4}{5} \cdot 5\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]

Шаг 3: Упростим вторую часть.

Распределим \( \sqrt{2} \): \[ \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = 2 \cdot 2 - 2\sqrt{12} \] Зная, что \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \): \[ = 4 - 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} \]

Шаг 4: Объединим выражения.

Теперь у нас есть: \[ 4\sqrt{3} + (4 - 4\sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 4 \]

Ответ: \[ 4 \]

б) \( (\sqrt{8} - \sqrt{5})^2 \)

Шаг 1: Используем формулу квадрата разности.

По формуле \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) имеем: \[ (\sqrt{8} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{8})^2 - 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \]

Шаг 2: Посчитаем каждую часть.

• \( (\sqrt{8})^2 = 8 \)
• \( (\sqrt{5})^2 = 5 \)
• \( 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{40} \)

Зная, что \( \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \): \[ 2\sqrt{40} = 2 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]

Шаг 3: Подставляем все значения.

Теперь у нас: \[ 8 - 4\sqrt{10} + 5 \]

Сложим 8 и 5: \[ 13 - 4\sqrt{10} \]

Ответ: \[ 13 - 4\sqrt{10} \]

Таким образом, мы упростили оба выражения! Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!