На полке 3 тетради в линейку и 5 тетрадей в клетку. Случайным образом выбирают три тетради. Какова вероятность того, что одна тетради будет в клетку и 2 тетради в линейку?
Чтобы найти вероятность того, что из трех выбранных тетрадей одна будет в клетку, а две в линейку, воспользуемся основными принципами комбинаторики и вероятности.
Шаг 1: Определение общего числа исходов
У нас на полке 3 тетради в линейку и 5 тетрадей в клетку. Всего тетрадей:
\[ 3 \text{ (в линейку)} + 5 \text{ (в клетку)} = 8 \text{ (всего тетрадей)}. \]
Количество способов выбрать 3 тетради из 8 можно найти с использованием формулы сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \]
где \( n \) — общее количество предметов, а \( k \) — количество выбираемых предметов. В нашем случае:
\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56. \]
Шаг 2: Подсчет благоприятных исходов
Теперь найдем количество способов выбрать одну тетрадь в клетку и две тетради в линейку.
Выбор одной тетради в клетку: У нас 5 тетрадей в клетку, и мы выбираем 1:
\[ C(5, 1) = 5. \]
Выбор двух тетрадей в линейку: У нас 3 тетради в линейку, и мы выбираем 2:
\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3. \]
Шаг 3: Общий подсчет благоприятных исходов
Общее число благоприятных исходов (выбор одной тетради в клетку и двух тетрадей в линейку) равно произведению способов выбора:
\[ 5 \times 3 = 15. \]
Шаг 4: Вычисление вероятности
Теперь можно вычислить вероятность того, что среди трех выбранных тетрадей одна будет в клетку, а две в линейку:
\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{общее число исходов}} = \frac{15}{56}. \]
Ответ
Вероятность того, что одна тетрадь будет в клетку и две — в линейку, составляет:
\[ P = \frac{15}{56}. \]
Это и есть искомая вероятность.
