решить

Давайте разберём задачу.

У нас есть вписанный четырёхугольник \( ABCD \) в окружность. Из свойств вписанных четырёхугольников следует, что сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна \(180^\circ\).

Нам даны углы:

• \( \angle ABC = 80^\circ\)
• \( \angle CAD = 34^\circ\)

Нужно найти угол \( \angle ABD\).

В треугольнике \( \triangle ABD\):

• \( \angle ABD \) — искомый угол.
• Угол \( \angle CAD = 34^\circ\) также соответствует дуге \( CD\) (ввиду того, что прямые \( AC\) и \( AD\) являются хордами).
• Следовательно, дуга \( CD \) также связана с углом \( \angle ABD \).

Однако, для простоты нахождения в этом случае, удобнее сначала рассчитать противоположный угол. Поскольку четвертый угол, который еще не указан в наших данных, можно определить, зная:

• \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \)

Мы знаем \( \angle ABC = 80^\circ\), таким образом: \[ \angle ADC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \]

Теперь в четрыёхугольнике: \[ \angle ABD + \angle ADC = 180^\circ \]

Отсюда: \[ \angle ABD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Следовательно, угол \( \angle ABD \) равен \( 80^\circ\).