Для решения этой задачи воспользуемся понятиями вероятности и комбинаторики. Итак, в ящике у нас 20 деталей, из которых 4 бракованные и 16 исправных.
1. Обозначим данные
- Общее количество деталей (N) = 20
- Количество бракованных деталей (B) = 4
- Количество исправных деталей (G) = 16
- Количество вынимаемых деталей (k) = 4
2. Подсчет общей вероятности
В каждой ситуации мы будем использовать формулу для вычисления вероятности:
[
P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}
]
Общее количество способов выбрать 4 детали из 20 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:
[
C(N, k) = \frac{N!}{k!(N-k)!}
]
Где ( ! ) — факториал числа, который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до этого числа.
Общее количество способов выбрать 4 детали из 20:
[
C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845
]
3. Расчет для каждого пункта
а) Все они будут исправные
Для этого необходимо выбрать 4 исправные детали из 16. Используем формулу биномиального коэффициента:
[
C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820
]
Теперь найдем вероятность:
[
P(\text{все исправные}) = \frac{C(16, 4)}{C(20, 4)} = \frac{1820}{4845} \approx 0.3757 \quad (\text{или } 37.57%)
]
б) Все они будут бракованные
Необходимо выбрать 4 бракованные детали из 4:
[
C(4, 4) = 1
]
Вероятность:
[
P(\text{все бракованные}) = \frac{C(4, 4)}{C(20, 4)} = \frac{1}{4845} \approx 0.000206 \quad (\text{или } 0.0206%)
]
в) Хотя бы одна из них будет бракованная
Эту вероятность можно найти, используя правило: 1 минус вероятность того, что все детали исправные.
[
P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - P(\text{все исправные}) = 1 - \frac{1820}{4845} \approx 0.6243 \quad (\text{или } 62.43%)
]
г) Будет поровну исправных и бракованных
Здесь нужно выбрать 2 исправные и 2 бракованные детали. Сначала подсчитаем количество способов это сделать:
[
C(16, 2) \cdot C(4, 2) = \left(\frac{16!}{2! \cdot 14!}\right) \cdot \left(\frac{4!}{2! \cdot 2!}\right) = 120 \cdot 6 = 720
]
Теперь находим вероятность:
[
P(\text{поровну}) = \frac{C(16, 2) \cdot C(4, 2)}{C(20, 4)} = \frac{720}{4845} \approx 0.1487 \quad (\text{или } 14.87%)
]
Итоговые ответы
- а) Вероятность того, что все детали исправные: ≈ 37.57%
- б) Вероятность того, что все детали бракованные: ≈ 0.0206%
- в) Вероятность хотя бы одной бракованной детали: ≈ 62.43%
- г) Вероятность поровну исправных и бракованных: ≈ 14.87%
