Даны две прямые NK и MP и секущие MN и KP. ∠MNK = 145°, ∠NMP = 35°, PT – биссектриса ∠MPK. Найдите ∠PTK, если ∠TKP на 36° больше ∠KРМ.

Решим задачу шаг за шагом, чтобы разобраться с геометрическими углами.

1. Сначала нарисуем схему. Это поможет визуализировать задачу. Обозначим:

   • Прямые NK и MP.
   • Секущие MN и KP.
   • Углы ∠MNK, ∠NMP, ∠MPK, ∠PTK и ∠TKP.

2. Исходные данные:

   • ∠MNK = 145°
   • ∠NMP = 35°
   • PT – биссектриса ∠MPK.
   • ∠TKP на 36° больше ∠KPM.

3. Ищем ∠KMP. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Рассмотрим треугольник MNP:

   • ∠MNP + ∠NMP + ∠MNK = 180°.
   • ∠KMP = ∠MNK - ∠NMP
   • Подставим известные значения: \[ ∠KMP = 145° - 35° = 110°. \]

4. Теперь найдем ∠MPK. В равнобедренном треугольнике, если PT является биссектрисой, ∠MPK делится пополам: \[ ∠MPK = ∠KMP = 110°. \] Значит, ∠PTM = ∠PTK.

5. Теперь найдем ∠TKP. Условие нам говорит, что:

   • ∠TKP = ∠KPM + 36°.
   • Заметим, что ∠KPM = 180° - ∠MPK - ∠NMP. Подставим значения: \[ ∠KPM = 180° - 110° - 35° = 35°. \] Теперь можем найти ∠TKP: \[ ∠TKP = 35° + 36° = 71°. \]

6. Теперь найдем ∠PTK. Поскольку PT — биссектрисе, мы можем записать: \[ ∠PTK + ∠TKP = ∠MPK. \] В нашем случае у нас есть:

   • ∠TKP = 71°,
   • ∠MPK = 110°.

   Подставим значения: \[ ∠PTK + 71° = 110°. \] Теперь решим уравнение: \[ ∠PTK = 110° - 71° = 39°. \]

Таким образом, искомый угол ∠PTK равен 39°.